Για θέμα Β...

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Για θέμα Β...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Πέμ Οκτ 19, 2017 11:29 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\frac{\ln \left ( e^{x}-x \right )}{\left | x \right |}}.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f.

Έστω, επιπλέον, η συνάρτηση: \displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} 
f(x) &,x\neq 0 \\\\  
0 &,x=0  
\end{matrix}\right.}

β) Να εξετάσετε αν ο παρακάτω ισχυρισμός είναι αληθής ή ψευδής, αιτιολογώντας σε κάθε περίπτωση την απάντηση σας:

"Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και η γραφική της παράσταση δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο τομής των αξόνων."

γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες ευθείες της γραφικής παράστασης της g και στη συνέχεια, να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης \displaystyle{g(x)=1}, x\in \mathbb{R}.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2901
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Για θέμα Β...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 22, 2017 2:27 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Πέμ Οκτ 19, 2017 11:29 pm
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\frac{\ln \left ( e^{x}-x \right )}{\left | x \right |}}.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f.

Φιλικά,
Μάριος
Θα δώσω μια λύση η οποία δεν πιστεύω ότι είναι σχολική.

Πεδίο ορισμού είναι το \mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}

Είναι γνωστό ότι e^{x}> 1+x για x\neq 0

Για x>0 είναι f(x)< 1 γιατί ln(e^{x}-x)< ln(e^{x})=x

Για x<0

f(x)< 1 γιατι ln(e^{x}-x)< ln(1+\left | x \right |)< \left | x \right |

Είναι προφανές ότι για

x\neq 0 είναι f(x)>0

Ευκολα βρίσκουμε ότι \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=1

και

\lim_{x\rightarrow 0 }f(x)=0

Αρα το πεδίο τιμών είναι το (0,1)

Περιμένω σχολική λύση.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Για θέμα Β...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Οκτ 22, 2017 2:32 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Περιμένω σχολική λύση.
Σταύρο μία χαρά σχολική λύση μου φαίνεται. Έχω κάνει τα ίδια αλλά αμέλησα να σχολιάσω ή να αναρτήσω τη λύση.
Πού πιστεύεις ότι δεν είναι σχολικό ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2901
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Για θέμα Β...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 22, 2017 2:51 pm

Το σχολικό λέει για μονότονες συναρτήσεις.

Εδώ δεν ξέρουμε αν είναι μονότονη.

Βέβαια μπορεί να αποδειχθεί με το Θ.Ε.Τ ότι

Αν f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R} συνεχής και

1)x> 0\Rightarrow a< f(x)< b

2)\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=a,\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=b

τότε f((0,\infty ))=(a,b)

Να αποδειχθούν και κάποια αλλά και να γίνει σχολική.

Με αυτή την λογική (κάνοντας διάφορα ακροβατικά) πολλά θεωρήματα της ανάλυσης μπορούν να
αποδειχθούν με σχολική ύλη.
Η προσωπική μου γνώμη είναι ότι δεν είναι σωστό.

Συμπλήρωμα.
https://www.jstor.org/stable/2695443
Ελπίζω μην δω κάποτε το παραπάνω σαν άσκηση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2901
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Για θέμα Β...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 25, 2017 4:17 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Πέμ Οκτ 19, 2017 11:29 pm
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\frac{\ln \left ( e^{x}-x \right )}{\left | x \right |}}.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f.

Έστω, επιπλέον, η συνάρτηση: \displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} 
f(x) &,x\neq 0 \\\\  
0 &,x=0  
\end{matrix}\right.}

β) Να εξετάσετε αν ο παρακάτω ισχυρισμός είναι αληθής ή ψευδής, αιτιολογώντας σε κάθε περίπτωση την απάντηση σας:

"Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και η γραφική της παράσταση δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο τομής των αξόνων."

γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες ευθείες της γραφικής παράστασης της g και στη συνέχεια, να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης \displaystyle{g(x)=1}, x\in \mathbb{R}.

Φιλικά,
Μάριος
Μάριε τι λύση έχεις για το α) με σχολική ύλη;
Γιατί αν θεωρείς την δική μου σχολική τότε ΧΑΣΑΜΕ.
Το ερώτημα απευθύνεται σε όλους.


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Για θέμα Β...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Νοέμ 01, 2017 4:41 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Οκτ 25, 2017 4:17 pm
M.S.Vovos έγραψε:
Πέμ Οκτ 19, 2017 11:29 pm
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\frac{\ln \left ( e^{x}-x \right )}{\left | x \right |}}.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f.

Έστω, επιπλέον, η συνάρτηση: \displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} 
f(x) &,x\neq 0 \\\\  
0 &,x=0  
\end{matrix}\right.}

β) Να εξετάσετε αν ο παρακάτω ισχυρισμός είναι αληθής ή ψευδής, αιτιολογώντας σε κάθε περίπτωση την απάντηση σας:

"Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και η γραφική της παράσταση δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο τομής των αξόνων."

γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες ευθείες της γραφικής παράστασης της g και στη συνέχεια, να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης \displaystyle{g(x)=1}, x\in \mathbb{R}.

Φιλικά,
Μάριος
Μάριε τι λύση έχεις για το α) με σχολική ύλη;
Γιατί αν θεωρείς την δική μου σχολική τότε ΧΑΣΑΜΕ.
Το ερώτημα απευθύνεται σε όλους.
Ίδια λύση έχουμε. Εμένα μου φαίνεται τραβηγμένη από τα μαλλιά όσο δε πάει... Το θεώρημα που αναφέρεις το χρησιμοποίησα πρώτη φορά στον Απειροστικό Λογισμό I.

Να τονίσω ότι μου την φέρανε από το σχολείο...


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6203
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Για θέμα Β...

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Νοέμ 02, 2017 12:59 am

M.S.Vovos έγραψε:
Τετ Νοέμ 01, 2017 4:41 pm

Να τονίσω ότι μου την φέρανε από το σχολείο...
Σε ποιο σχολείο έχουν διδαχτεί μέχρι τον Οκτώβρη εφαπτόμενες και ασύμπτωτες; :?


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης