Μελέτη και γραφική παράσταση

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9228
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μελέτη και γραφική παράσταση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 04, 2017 10:34 am

Να γίνει η μελέτη και η γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle f(x) = (x - 2){e^x} - x στο \displaystyle ( - \infty ,1]



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1534
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Μελέτη και γραφική παράσταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Οκτ 04, 2017 2:39 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Οκτ 04, 2017 10:34 am
Να γίνει η μελέτη και η γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle f(x) = (x - 2){e^x} - x στο \displaystyle ( - \infty ,1]
ΛΥΣΗ

Η συνάρτηση \displaystyle f(x) = (x - 2){e^x} - x στο διάστημα \Delta =(-\infty ,1] είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών.

Επειδή \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(x-2){{e}^{x}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{{{e}^{-x}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{-{{e}^{-x}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(-{{e}^{x}})=0 είναι

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,((x-2){{e}^{x}}-x)=+\infty

Τώρα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο \Delta =(-\infty ,1] δύο φορές ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων με {f}'(x)=(x-1){{e}^{x}}-1 και

{f}''(x)=x{{e}^{x}} επομένως αφού {f}''(x)=0\Leftrightarrow x=0, {f}''(x)>0\Leftrightarrow x>0 και {f}''(x)<0\Leftrightarrow x<0 η συνάρτηση

είναι κυρτή στο διάστημα {{\Delta }_{1}}=(-\infty ,0] και κοίλη στο διάστημα {{\Delta }_{2}}=[0,\,1]

και το σημείο (0,\,\,f(0)) ή (0,\,\,2) είναι σημείο καμπής της συνάρτησης.

Επίσης επειδή {f}''(x)>0\Leftrightarrow x>0και {f}''(x)<0\Leftrightarrow x<0 η {f}'(x)=(x-1){{e}^{x}}-1 είναι γνήσια φθίνουσα στο

{{\Delta }_{1}}=(-\infty ,0] και γνήσια αύξουσα στο {{\Delta }_{2}}=[0,\,1] επομένως έχει ελάχιστη τιμή την {f}'(0)=(0-1){{e}^{0}}-1=-2

και επιπλέον αφού είναι και συνεχής θα είναι

{f}'({{\Delta }_{1}})=[{f}'(0),\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)),{f}'({{\Delta }_{2}})=[{f}'(0),{f}'(1)]

Τώρα \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,((x-1){{e}^{x}}-1)=-1 γιατί

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(x-1){{e}^{x}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{{{e}^{-x}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{-{{e}^{-x}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(-{{e}^{x}})=0

επομένως {f}'({{\Delta }_{1}})=[-2,\,\,-1),\,\,{f}'({{\Delta }_{2}})=[-2,\,\,-1]

άρα είναι {f}'(\Delta )=[-2,\,\,-1) που σημαίνει ότι {f}'(x)<0,\,\,x\in \Delta άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.

Ακόμη επειδή \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-2){{e}^{x}}-x}{x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{x-2}{2}{{e}^{x}}-1 \right)=-1 και

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(f(x)+x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(x{{e}^{x}})=0 η ευθεία y=-x είναι ασύμπτωτη της f στο -\infty

...το σχήμα αργότερα...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Μελέτη και γραφική παράσταση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Οκτ 04, 2017 6:41 pm

f(x)=(x-2)e^x-x.png
f(x)=(x-2)e^x-x.png (8.96 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές
Για την καλησπέρα μου στον Βασίλη.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες