Συμμετρία

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1462
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Συμμετρία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Σεπ 17, 2017 8:45 am

Έστω \displaystyle f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο \displaystyle \Delta  = (c - \delta ,c + \delta )
Αποδείξτε ότι η \displaystyle {C_f} έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο \displaystyle A(c,f(c)) αν και μόνο αν η \displaystyle {C_{f'}} έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία \displaystyle x = c .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Re: Συμμετρία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Κυρ Σεπ 17, 2017 3:54 pm

Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle g(\left x \right)=f(\left x+c \right)-f(\left c ), για κάθε \displaystyle x \in (\left-\delta, +\delta \right), \displaystyle \delta>0. Επειδή η \displaystyle C_{f} έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο \displaystyle A(\left c, f(\left c \right) \right), η \displaystyle C_{g} (μετατόπιση της \displaystyle C_{f} κατά \displaystyle c μονάδες προς τον \displaystyle {y}'y και κατά \displaystyle f(\left c \right) προς τον \displaystyle {x}'x) έχει κέντρο συμμετρίας το \displaystyle O(\left 0,0 \right), δηλαδή η \displaystyle g είναι περιττή. Οπότε \displaystyle g(\left -x \right)=-g(\left x \right), \displaystyle \forall x \in (\left -\delta, +\delta \right). Και αντίστροφα, επειδή η \displaystyle g είναι περιττή, ομοίως προκύπτει, ότι η \displaystyle C_{f} έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο \displaystyle A.
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle h(\left x \right)={f}'(\left x+c \right), για κάθε \displaystyle x \in (\left -\delta, +\delta \right), \displaystyle \delta>0. Επειδή η \displaystyle C_{{f}'} έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία \displaystyle x=c, η \displaystyle C_{h} (μετατόπιση της \displaystyle C_{{f}'} κατά \displaystyle c μονάδες προς τον \displaystyle {y}'y) έχει άξονα συμμετρίας τον {y}'y, δηλαδή η \displaystyle h είναι άρτια. Οπότε \displaystyle h(\left -x \right)=h(\left x \right), \displaystyle \forall x \in (\left -\delta, +\delta \right). Και αντίστροφα, επειδή η \displaystyle h είναι άρτια, ομοίως προκύπτει, ότι η \displaystyle C_{f} έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία \displaystyle x=c.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι \displaystyle g(\left –x \right)=-g(\left x \right) \Leftrightarrow h(\left –x \right)=h(\left x \right), \displaystyle \forall x \in (\left -\delta, +\delta \right). Η \displaystyle g είναι παραγωγίσιμη ως διαφορά παραγωγίσιμων με \displaystyle {g}’(\left x \right)={f}’(\left x+c \right) . Έτσι, \displaystyle {g}’(\left x \right)=h(\left x\right) και \displaystyle {g}’(\left –x \right)=h(\left –x \right). Οπότε, αρκεί να δείξουμε ότι \displaystyle g(\left –x \right)=-g(\left x \right) \Leftrightarrow {g}’(\left –x \right)={g}’(\left x \right), \displaystyle \forall x \in (\left -\delta, +\delta \right).
Ευθύ:
Έχουμε: \displaystyle g(\left –x \right)=-g(\left x \right) \Rightarrow {[\left g(\left -x \right) \right]}’={[\left –g(\left x \right) \right]}’ \Rightarrow –{g}’(\left -x \right)=-{g}’(\left x \right) \Rightarrow {g}’(\left –x \right) \displaystyle={g}’(\left x \right), \displaystyle \forall x \in (\left -\delta, +\delta).
Αντίστροφο:
Έχουμε: \displaystyle {g}’(\left –x \right)={g}’(\left x \right) \Rightarrow –{g}’(\left -x \right)=-{g}’(\left x \right) \Rightarrow {[\left g(\left -x \right) \right]}’={[\left –g(\left x \right) \right]}’ \Rightarrow g(\left –x \right) \displaystyle=-g(\left x \right) +k. Όμως, επειδή η \displaystyle g είναι περιττή και \displastyle 0 \in (\left -\delta, +\delta \right) (σύνολο συμμετρικό ως προς το 0), είναι \displaystyle g(\left 0 \right)=0, οπότε \displastyle k=0. Επομένως, \displaystyle g(\left –x \right)=-g(\left x \right) .
Το ζητούμενο αποδείχθηκε.

edit: Ευχαριστώ τον exdx για την παρατήρηση.
τελευταία επεξεργασία από nikos_el σε Κυρ Σεπ 17, 2017 4:58 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


The road to success is always under construction
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 2 επισκέπτες