Εξίσωση με συνεφαπτομένη

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Εξίσωση με συνεφαπτομένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Παρ Σεπ 15, 2017 1:29 pm

Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση:
\displaystyle{\cot x=\frac{\sin x+1}{x-\pi },\hspace{3mm}x\in (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi ) Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Εξίσωση με συνεφαπτομένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Σεπ 17, 2017 5:41 pm

Επαναφορά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 343
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Εξίσωση με συνεφαπτομένη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Δευ Σεπ 18, 2017 8:25 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Παρ Σεπ 15, 2017 1:29 pm
Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση:
\displaystyle{\cot x=\frac{\sin x+1}{x-\pi },\hspace{3mm}x\in (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi ) Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Η δοθείσα ισοδυνάμως γράφεται: \dfrac{cosx}{sinx}=\dfrac{sinx+1}{x-\pi } \Leftrightarrow (x-\pi )cos x =sin^2 x+sin x .

Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=(x-\pi )cos x -sin^2 x-sin x , παραγωγίσιμη με f' (x)=-sin x (x-\pi +2cos x ) .

Επίσης θεωρώ την συνάρτηση g(x)=x-\pi +2cos x , παραγωγίσιμη με g' (x)=1-2 sin x  .

Λύνοντας την εξίσωση g'(x)=0 κατασκευάζουμε τον πίνακα μονοτονίας και προσήμων για τις g και f .
ΠΙΝΑΚΑΣ 1.png
ΠΙΝΑΚΑΣ 1.png (18.4 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές
Η x_{o} είναι ρίζα της g και προκύπτει από Θ. Bolzano στην g στο \left [\pi , \dfrac{3\pi }{2} \right ] και είναι g\left (\frac{\pi }{6} \right )=-\dfrac{5\pi }{6}+\sqrt{3}<0.

Συνεπώς η f έχει ρίζες τις \pi και \dfrac{3\pi }{2} .
Τελικά η εξίσωση, λόγω περιορισμών, έχει μοναδική λύση την \dfrac{3\pi }{2} .

Φιλικά
Σταμ. Γλαρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης