Μέγιστη απόσταση

#1

Έστω $\displaystyle f(x)=\sqrt{x},x\in [0,1]$ . Βρείτε τη μέγιστη οριζόντια απόσταση της $\displaystyle {{C}_{f}}$ από την ευθεία $\displaystyle y=x$

Γιώργος Απόκης · #2

Kαλησπέρα.

Έστω $\displaystyle M(x,\sqrt{x})$ το τυχαίο σημείο της $\displaystyle {C_f$ . H απόστασή του από την ευθεία $\displaystyle y=x\Leftrightarrow x-y=0$ ισούται με

$\displaystyle d(x)=\frac{|x-\sqrt{x}|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x}-x),~~x\in[0,1]$ . Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle (0,1]$ με

$\displaystyle d'(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-1\right)=\frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{2}\sqrt{x}}$ που έχει ρίζα $\displaystyle 1-2\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$ .

Από το πρόσημο της παραγώγου προκύπτει ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο για $\displaystyle x=\frac{1}{4}$ άρα το ζητούμενο σημείο

είναι το $\displaystyle M\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$

#3

Καλησπέρα!

: Μέγιστη απόσταση.png (11.34 KiB) Προβλήθηκε 969 φορές

Αν $A(x, \sqrt{x}), 0<x<1,$ τότε $B(\sqrt{x}, \sqrt{x})$ και $\displaystyle AB = f(x) = \sqrt x - x$ με $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }} - 1$

που παρουσιάζει για $\boxed{x=\dfrac{1}{4}}$ μέγιστο ίσο με $\boxed{{(AB)_{\max }} = \frac{1}{4}}$

#4

Με ύλη μικρότερων τάξεων. Στο προηγούμενο σχήμα και για $A(x, \sqrt{x}), 0<x<1$ :

$\displaystyle \left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2 \ge 0 \Leftrightarrow x - \sqrt x + \frac{1}{4} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x - x \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{AB\le \frac{1}{4}}$ με την ισότητα να ισχύει για $\boxed{x=\frac{1}{4}}$

Γιώργος Απόκης · #5

Ξέχασα να δώσω απάντηση στο ζητούμενο : η μέγιστη απόσταση είναι ίση με $\displaystyle \frac{1}{4}$

Christos.N · #6

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \sqrt x$ αντιστρέφεται(παρατηρώντας το σχήμα ή αποδεικνύοντας το) στο διάστημα $\displaystyle \left[ {0,1} \right]$ και λόγω συμμετρίας έχει αντίστροφη την $\displaystyle g\left( x \right) = {x^2}$ , το πρόβλημα μεταφέρεται λόγω συμμετρίας στην μέγιστη κατακόρυφη απόσταση των $\displaystyle {C_g}$ και της διχοτόμου. Δηλαδή την μέγιστη διαφορά $\displaystyle x-{x^2}$ στο διάστημα $\displaystyle \left[ {0,1} \right]$ ......κ.τ.λ.

Μέγιστη απόσταση

Μέγιστη απόσταση

Re: Μέγιστη απόσταση

Re: Μέγιστη απόσταση

Re: Μέγιστη απόσταση

Re: Μέγιστη απόσταση

Re: Μέγιστη απόσταση

Μέλη σε σύνδεση