Μέγιστη απόσταση

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Μέγιστη απόσταση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Σεπ 14, 2017 11:24 pm

Έστω \displaystyle f(x)=\sqrt{x},x\in [0,1]. Βρείτε τη μέγιστη οριζόντια απόσταση της \displaystyle {{C}_{f}} από την ευθεία \displaystyle y=x
Συνημμένα
Dist.png
Dist.png (3.76 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη απόσταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Πέμ Σεπ 14, 2017 11:55 pm

Kαλησπέρα.

Έστω \displaystyle M(x,\sqrt{x}) το τυχαίο σημείο της \displaystyle {C_f. H απόστασή του από την ευθεία \displaystyle y=x\Leftrightarrow x-y=0 ισούται με

\displaystyle d(x)=\frac{|x-\sqrt{x}|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x}-x),~~x\in[0,1]. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle (0,1] με

\displaystyle d'(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-1\right)=\frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{2}\sqrt{x}} που έχει ρίζα \displaystyle 1-2\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}.

Από το πρόσημο της παραγώγου προκύπτει ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο για \displaystyle x=\frac{1}{4} άρα το ζητούμενο σημείο

είναι το \displaystyle M\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8523
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστη απόσταση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 15, 2017 12:08 am

Καλησπέρα!
Μέγιστη απόσταση.png
Μέγιστη απόσταση.png (11.34 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές
Αν A(x, \sqrt{x}), 0<x<1, τότε B(\sqrt{x}, \sqrt{x}) και \displaystyle AB = f(x) = \sqrt x  - x με \displaystyle f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }} - 1

που παρουσιάζει για \boxed{x=\dfrac{1}{4}} μέγιστο ίσο με \boxed{{(AB)_{\max }} = \frac{1}{4}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8523
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστη απόσταση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 15, 2017 8:21 am

Με ύλη μικρότερων τάξεων. Στο προηγούμενο σχήμα και για A(x, \sqrt{x}), 0<x<1:

\displaystyle \left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2 \ge 0 \Leftrightarrow x - \sqrt x  + \frac{1}{4} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x  - x \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow \boxed{AB\le \frac{1}{4}} με την ισότητα να ισχύει για \boxed{x=\frac{1}{4}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη απόσταση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Παρ Σεπ 15, 2017 2:35 pm

Ξέχασα να δώσω απάντηση στο ζητούμενο : η μέγιστη απόσταση είναι ίση με \displaystyle \frac{1}{4}


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1715
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Μέγιστη απόσταση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Σεπ 15, 2017 5:10 pm

Η συνάρτηση \displaystyle f\left( x \right) = \sqrt x αντιστρέφεται(παρατηρώντας το σχήμα ή αποδεικνύοντας το) στο διάστημα \displaystyle \left[ {0,1} \right] και λόγω συμμετρίας έχει αντίστροφη την \displaystyle g\left( x \right) = {x^2}, το πρόβλημα μεταφέρεται λόγω συμμετρίας στην μέγιστη κατακόρυφη απόσταση των \displaystyle {C_g} και της διχοτόμου. Δηλαδή την μέγιστη διαφορά \displaystyle x-{x^2} στο διάστημα \displaystyle \left[ {0,1} \right]......κ.τ.λ.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης