Με ημίτονο και μονοτονία...

M.S.Vovos · #1

Δίνεται η συνάρτηση: $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{\pi -x}{\sin x}, &(0,\pi )\cup (\pi ,2\pi ) \\\\ 1, &x=\pi \end{matrix}\right.}$

Είναι η $\displaystyle{f}$ κυρτή στο πεδίο ορισμού της;

Φιλικά,
Μάριος

#2

Είναι : $\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{\pi -x}{\sin x},x\in (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi ) \\ 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=\pi \\ \end{matrix} \right.$
Επειδή $\displaystyle \frac{\pi -x}{\sin x}=\frac{\pi -x}{\sin (\pi -x)}$ , η $\displaystyle f$ έχει προέλθει από μια οριζόντια μεταφορά κατά $\displaystyle \pi$ προς τα δεξιά της
$\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{x}{\sin x},x\in (-\pi ,0)\cup (0,\pi ) \\ 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0 \\ \end{matrix} \right.$
Αρκεί να μελετηθεί η κυρτότητα της $\displaystyle g$
Επειδή $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sin x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{1}=1$
η $\displaystyle g$ είναι συνεχής στο $\displaystyle 0$ και τελικά συνεχής στο $\displaystyle (-\pi ,\pi )$
Η $\displaystyle g$ είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα $\displaystyle (-\pi ,0),(0,\pi )$
με $\displaystyle {g}'(x)=\frac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x}$
Στο $\displaystyle x=0$ η $\displaystyle g$ είναι παραγωγίσιμη διότι

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{x}{\sin x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-\sin x}{x\sin x}\overset{0/0}{\mathop{=}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{\sin x+x\cos x}\overset{0/0}{\mathop{=}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{2\cos x-\sin x}=0$ $\displaystyle (*)$

Η $\displaystyle {g}'$ είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα $\displaystyle (-\pi ,0),(0,\pi )$
με $\displaystyle {g}''(x)=\frac{2x{{\cos }^{2}}x-2\cos x\sin x+x{{\sin }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}=\frac{x(2{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)-2\cos x\sin x}{{{\sin }^{3}}x}=\frac{x({{\cos }^{2}}x+1)-2\cos x\sin x}{{{\sin }^{3}}x}$

Έστω $\displaystyle r(x)=x({{\cos }^{2}}x+1)-2\cos x\sin x,\,\,\,\,x\in (-\pi ,\pi )$ με $\displaystyle r(0)=0$ και
$\displaystyle {r}'(x)=3{{\sin }^{2}}x-2x\sin x\cos x=\sin x(3\sin x-2x\cos x),\,\,\,\,x\in (-\pi ,\pi )$ και $\displaystyle {r}'(0)=0$
Είναι $\displaystyle \sin x<0,x\in (-\pi ,0)$ και $\displaystyle \sin x>0,x\in (0,\pi )$ $\displaystyle (1)$

Έστω $\displaystyle t(x)=3\sin x-2x\cos x$ .
Τότε $\displaystyle t(x)<0,x\in (-\pi ,0)$ και $\displaystyle t(x)>0,x\in (0,\pi )$ , $\displaystyle (2)$
σύμφωνα με τη δημοσίευση εδώ
Από $\displaystyle (1)$ , $\displaystyle (2)$ έχουμε $\displaystyle {r}'(x)\ge 0$ στο $\displaystyle (-\pi ,\pi )$ .
Άρα η $\displaystyle r$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle (-\pi ,\pi )$ κι αφού $\displaystyle r(0)=0$ έχουμε ότι $\displaystyle r(x)<0,x\in (-\pi ,0)$ και $\displaystyle r(x)>0,x\in (0,\pi )$ $\displaystyle (3)$
Ακόμα είναι : $\displaystyle {{\sin }^{3}}x<0,x\in (-\pi ,0)$ και $\displaystyle {{\sin }^{3}}x>0,x\in (0,\pi )$ $\displaystyle (4)$
Από $\displaystyle (3)$ , $\displaystyle (4)$ , $\displaystyle (*)$ έχουμε $\displaystyle {g}''(x)\ge 0$ στο $\displaystyle (-\pi ,\pi )$ .
Άρα η $\displaystyle g$ και επομένως η $\displaystyle f$ είναι κυρτή .

M.S.Vovos · #3

exdx έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 15, 2017 12:09 pm
Είναι : $\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{\pi -x}{\sin x},x\in (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi ) \\ 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=\pi \\ \end{matrix} \right.$
Επειδή $\displaystyle \frac{\pi -x}{\sin x}=\frac{\pi -x}{\sin (\pi -x)}$ , η $\displaystyle f$ έχει προέλθει από μια οριζόντια μεταφορά κατά $\displaystyle \pi$ προς τα δεξιά της
$\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{x}{\sin x},x\in (-\pi ,0)\cup (0,\pi ) \\ 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0 \\ \end{matrix} \right.$
Αρκεί να μελετηθεί η κυρτότητα της $\displaystyle g$
Επειδή $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sin x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{1}=1$
η $\displaystyle g$ είναι συνεχής στο $\displaystyle 0$ και τελικά συνεχής στο $\displaystyle (-\pi ,\pi )$
Η $\displaystyle g$ είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα $\displaystyle (-\pi ,0),(0,\pi )$
με $\displaystyle {g}'(x)=\frac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x}$
Στο $\displaystyle x=0$ η $\displaystyle g$ είναι παραγωγίσιμη διότι

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{x}{\sin x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-\sin x}{x\sin x}\overset{0/0}{\mathop{=}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{\sin x+x\cos x}\overset{0/0}{\mathop{=}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{2\cos x-\sin x}=0$ $\displaystyle (*)$

Η $\displaystyle {g}'$ είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα $\displaystyle (-\pi ,0),(0,\pi )$
με $\displaystyle {g}''(x)=\frac{2x{{\cos }^{2}}x-2\cos x\sin x+x{{\sin }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}=\frac{x(2{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)-2\cos x\sin x}{{{\sin }^{3}}x}=\frac{x({{\cos }^{2}}x+1)-2\cos x\sin x}{{{\sin }^{3}}x}$

Έστω $\displaystyle r(x)=x({{\cos }^{2}}x+1)-2\cos x\sin x,\,\,\,\,x\in (-\pi ,\pi )$ με $\displaystyle r(0)=0$ και
$\displaystyle {r}'(x)=3{{\sin }^{2}}x-2x\sin x\cos x=\sin x(3\sin x-2x\cos x),\,\,\,\,x\in (-\pi ,\pi )$ και $\displaystyle {r}'(0)=0$
Είναι $\displaystyle \sin x<0,x\in (-\pi ,0)$ και $\displaystyle \sin x>0,x\in (0,\pi )$ $\displaystyle (1)$

Έστω $\displaystyle t(x)=3\sin x-2x\cos x$ .
Τότε $\displaystyle t(x)<0,x\in (-\pi ,0)$ και $\displaystyle t(x)>0,x\in (0,\pi )$ , $\displaystyle (2)$
σύμφωνα με τη δημοσίευση εδώ
Από $\displaystyle (1)$ , $\displaystyle (2)$ έχουμε $\displaystyle {r}'(x)\ge 0$ στο $\displaystyle (-\pi ,\pi )$ .
Άρα η $\displaystyle r$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle (-\pi ,\pi )$ κι αφού $\displaystyle r(0)=0$ έχουμε ότι $\displaystyle r(x)<0,x\in (-\pi ,0)$ και $\displaystyle r(x)>0,x\in (0,\pi )$ $\displaystyle (3)$
Ακόμα είναι : $\displaystyle {{\sin }^{3}}x<0,x\in (-\pi ,0)$ και $\displaystyle {{\sin }^{3}}x>0,x\in (0,\pi )$ $\displaystyle (4)$
Από $\displaystyle (3)$ , $\displaystyle (4)$ , $\displaystyle (*)$ έχουμε $\displaystyle {g}''(x)\ge 0$ στο $\displaystyle (-\pi ,\pi )$ .
Άρα η $\displaystyle g$ και επομένως η $\displaystyle f$ είναι κυρτή .

Όμορφη λύση. Η δικιά μου αντιμετώπιση, δεν έχει την μετατόπιση της γραφικής παράστασης, που απλουστεύει τα πράγματα αρκετά.

Θα ήθελα να ρωτήσω:

Πόσο και πώς θα βαθμολογούσαμε το εν λόγω ερώτημα; Το θέλω για διαγώνισμα γι' αυτό ρωτάω.

Φιλικά,
Μάριος

#4

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 15, 2017 1:06 pm

Πόσο και πώς θα βαθμολογούσαμε το εν λόγω ερώτημα; Το θέλω για διαγώνισμα γι' αυτό ρωτάω.

Φιλικά,
Μάριος

Νομίζω ότι βγαίνει ολόκληρο θέμα . Κάπως έτσι :

α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση
$\displaystyle t(x)=3\sin x-2x\cos x,\,\,x\in [-\pi ,\pi ]$ ( Μονάδες 6 )

β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πρόσημο της
$\displaystyle g(x)=x(2{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)-2\cos x\sin x$ , $\displaystyle x\in [-\pi ,\pi ]$ ( Μονάδες 8 )

γ) Έστω $\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{x}{\sin x},x\in (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi ) \\ 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=\pi \\ \end{matrix} \right.$
i) Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο $\displaystyle [-\pi ,\pi ]$ ( Μονάδες 3 )

ii) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο $\displaystyle [-\pi ,\pi ]$ ( Μονάδες 8 )

M.S.Vovos · #5

exdx έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 15, 2017 1:45 pm

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 15, 2017 1:06 pm

Πόσο και πώς θα βαθμολογούσαμε το εν λόγω ερώτημα; Το θέλω για διαγώνισμα γι' αυτό ρωτάω.

Φιλικά,
Μάριος
Νομίζω ότι βγαίνει ολόκληρο θέμα . Κάπως έτσι :

α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση
$\displaystyle t(x)=3\sin x-2x\cos x,\,\,x\in [-\pi ,\pi ]$ ( Μονάδες 6 )

β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πρόσημο της
$\displaystyle g(x)=x(2{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)-2\cos x\sin x$ , $\displaystyle x\in [-\pi ,\pi ]$ ( Μονάδες 8 )

γ) Έστω $\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{x}{\sin x},x\in (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi ) \\ 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=\pi \\ \end{matrix} \right.$
i) Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο $\displaystyle [-\pi ,\pi ]$ ( Μονάδες 3 )

ii) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο $\displaystyle [-\pi ,\pi ]$ ( Μονάδες 8 )

Ευχαριστώ πολύ!

Με ημίτονο και μονοτονία...

Με ημίτονο και μονοτονία...

Re: Με ημίτονο και μονοτονία...

Re: Με ημίτονο και μονοτονία...

Re: Με ημίτονο και μονοτονία...

Re: Με ημίτονο και μονοτονία...

Μέλη σε σύνδεση