Ύπαρξη σημείων...

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Ύπαρξη σημείων...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Ιουν 20, 2017 6:55 pm

Έστω η συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, για την οποία ισχύει:
\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
x^{2}+x+1, &x<0 \\ 
 
x^{3}+x+1, &x\geq 0  
\end{matrix}\right.} Να εξετάσετε αν υπάρχουν σημεία της f, στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της να είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ύπαρξη σημείων...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Ιουν 21, 2017 12:27 am

M.S.Vovos έγραψε:Έστω η συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, για την οποία ισχύει:
\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
x^{2}+x+1, &x<0 \\ 
 
x^{3}+x+1, &x\geq 0  
\end{matrix}\right.} Να εξετάσετε αν υπάρχουν σημεία της f, στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της να είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Φιλικά,
Μάριος
Λυση

Είναι η f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη λόγω της μορφής της για x\ne 0 με {f}'(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   2x+1, & x<0  \\ 
   3{{x}^{2}}+1, & x>0  \\ 
\end{matrix} \right.

και εξετάζοντας στο x=0 έχουμε ότι

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(x+1)=1 και

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+x}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+1)=1

άρα είναι παραγωγίσιμη και στο x=0 με {f}'(0)=1

Τώρα είναι δύο φορές παραγωγίσιμη λόγω της μορφής της για x\ne 0 με

{f}''(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   2, & x<0  \\ 
   6x, & x>0  \\ 
\end{matrix} \right. και προφανώς ισχύει για x\ne 0 ότι {f}''(x)>0

επομένως η {f}'είναι γνήσια αύξουσα στο Rάρα και '1-1' επομένως δεν υπάρχουν

{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} ώστε {f}'({{x}_{1}})={f}'({{x}_{2}}) επομένως δεν υπάρχουν

εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της που να είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης