Παραμετρική με λογάριθμο

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Παραμετρική με λογάριθμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Ιουν 15, 2017 11:30 pm

Δίνεται ο αριθμός \displaystyle{k\in (0,+\infty )} και η συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}} με τύπο \displaystyle{f(x)=x+k\ln ({{x}^{2}}+{{k}^{2}})}
α) Να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα και ότι έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής \displaystyle{A,B}.
β) Να βρείτε τις εφαπτόμενες της \displaystyle{{{C}_{f}}} στα \displaystyle{A,B} και κατόπιν να δείξετε ότι τέμνονται σε σημείο \displaystyle{D}
του άξονα \displaystyle{{y}'y}
γ) Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες στη \displaystyle{C} της \displaystyle{{f}'} και κατόπιν να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση
δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \displaystyle{f'(x) = m} για τις διάφορες τιμές του \displaystyle{m\in \mathbb{R}} .
ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει \displaystyle{a\in (-k,k)} ώστε η εφαπτόμενη στο \displaystyle{E(a,f(a))} να έχει σταθερή κλίση
για κάθε \displaystyle{k\in (0,+\infty )} .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Andreas Panteris
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 10:56 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Παραμετρική με λογάριθμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Andreas Panteris » Παρ Ιουν 16, 2017 7:13 pm

Καλησπέρα αγαπητοί Συνάδελφοι


α) Είναι {{x}^{2}}+{{k}^{2}}\ge {{k}^{2}}>0 για κάθε x\in \mathbb{R}, επομένως {{D}_{f}}=\mathbb{R}
\bullet {f}'\left( x \right)=1+\frac{2kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}+2kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}}=\frac{{{\left( x+k \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}}\ge 0,x\in \mathbb{R} άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο {{D}_{f}}=\mathbb{R}.

\bullet {f}''\left( x \right)=\frac{2k\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)-2kx\cdot 2x}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{2k{{x}^{2}}+2{{k}^{3}}-4k{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{2{{k}^{3}}-2k{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{2k\left( {{k}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{2}}}
Aφού k>0 και {{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{2}}>0,x\in \mathbb{R} οι ρίζες και το πρόσημο της {f}'' εξαρτώνται από {{k}^{2}}-{{x}^{2}}.

{f}''\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{k}^{2}}-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\pm k
{f}''\left( x \right)>0\Leftrightarrow {{k}^{2}}-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow {{x}^{2}}<{{k}^{2}}\Leftrightarrow \left| x \right|<k\Leftrightarrow -k<x<k
{f}''\left( x \right)<0\Leftrightarrow {{k}^{2}}-{{x}^{2}}<0\Leftrightarrow {{x}^{2}}>{{k}^{2}}\Leftrightarrow \left| x \right|>k\Leftrightarrow x<-k\text{ }\text{ }x>k

Άρα η είναι κοίλη στα διαστήματα \left( -\infty ,k \right],\left[ k,+\infty  \right) κυρτή στο \left[ -k,k \right] και έχει καμπή για x=-k,x=k .

Είναι f\left( -k \right)=-k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right),f\left( k \right)=k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right) άρα σημεία καμπής τα \Alpha \left( -k,-k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right) \right),B\left( k,k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right) \right)

β) Η εφαπτομένη της {{C}_{f}} στο σημείο \Alpha \left( -k,-k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right) \right) έχει εξίσωση

y-f\left( -k \right)={f}'\left( -k \right)\left( x+k \right)\Rightarrow y+k-k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right)=0\left( x+k \right)\Leftrightarrow y=-k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right) \left( {{\varepsilon }_{1}} \right)
\left( * \right){f}'\left( -k \right)=1+\frac{-2{{k}^{2}}}{2{{k}^{2}}}=1-1=0

Η εφαπτομένη της {{C}_{f}} στο σημείο B\left( k,k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right) \right) έχει εξίσωση

y-f\left( k \right)={f}'\left( k \right)\left( x-k \right)\Rightarrow y-k-k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right)=2\left( x-k \right)\Leftrightarrow y=2x-k+k\cdot \ln \left( 2{{k}^{2}} \right) \left( {{\varepsilon }_{2}} \right)
\left( * \right){f}'\left( k \right)=1+\frac{2{{k}^{2}}}{2{{k}^{2}}}=1+1=2

Κοινό σημείο των \left( {{\varepsilon }_{1}} \right),\left( {{\varepsilon }_{2}} \right) το σημείο D\left( 0,-k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right) \right)\in {y}'y

γ) Η {f}'\left( x \right)=1+\frac{2kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}},x\in \mathbb{R} είναι συνεχής στο \mathbb{R} άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.

\bullet \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{2kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}} \right)=1, αφού \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2kx}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2k}{x}=0, άρα η ευθεία y=1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της {{C}_{{{f}'}}} στο -\infty .

\bullet \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{2kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}} \right)=1, αφού \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2kx}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2k}{x}=0, άρα η ευθεία y=1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της {{C}_{{{f}'}}} και στο -\infty .

\bullet {{f}^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)=2k{{\left[ \frac{{{k}^{2}}-{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{2}}} \right]}^{\prime }}=2k\frac{-2x{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{2}}-4x\left( {{k}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{4}}}=2k\frac{-2x\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)-4x\left( {{k}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{3}}}==2k\frac{-2{{x}^{3}}-2{{k}^{2}}x-4{{k}^{2}}x+4{{x}^{3}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{3}}}=2k\frac{2{{x}^{3}}-6{{k}^{2}}x}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{3}}}=4k\frac{x\left( {{x}^{2}}-3{{k}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{3}}}

Αφού \frac{4\kappa }{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{3}}}>0,\forall x\in \mathbb{R} έχουμε:
{{f}^{3}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow 4k\frac{x\left( {{x}^{2}}-3{{k}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{3}}}=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-3{{k}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow x=0\text{ }\text{ }x=\pm k\sqrt{3}

(συνεχίζεται)


Andreas Panteris
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 10:56 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Παραμετρική με λογάριθμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Andreas Panteris » Παρ Ιουν 16, 2017 7:24 pm

Πίνακας μεταβολών

x -\infty -k\sqrt{3} -k 0 k k\sqrt{3} +\infty
{f}''\left( x \right) - - + + - -
{{f}^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) - + + - - +
{f}'\left( x \right)
Σ.Κ Ο.Ε Σ.Κ Ο.Μ Σ.Κ


Η έχει ολικό ελάχιστο στη θέση x=-k το {f}'\left( -k \right)=0 και ολικό μέγιστο στη θέση x=k το {f}'\left( k \right)=2.
Τα σημεία \Gamma \left( -k\sqrt{3},{f}'\left( -k\sqrt{3} \right) \right) και \Delta \left( k\sqrt{3},{f}'\left( k\sqrt{3} \right) \right) είναι σημεία καμπής της {{C}_{{{f}'}}}.

{f}'\left( -k\sqrt{3} \right)=1-\frac{2{{k}^{2}}\sqrt{3}}{4{{k}^{2}}}=1-\frac{\sqrt{3}}{2} και {f}'\left( k\sqrt{3} \right)=1\frac{2{{k}^{2}}\sqrt{3}}{4{{k}^{2}}}=1+\frac{\sqrt{3}}{2} .

Να βοηθήσει κάποιος στη γραφική παράσταση.


δ) Σύνολο τιμών της {f}' .

Έστω {{\Delta }_{1}}=\left( -\infty ,-k \right],{{\Delta }_{2}}=\left[ -k,k \right],{{\Delta }_{3}}=\left[ k,+\infty  \right)
\bullet H {f}' είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο {{\Delta }_{1}}=\left( -\infty ,-k \right] άρα {f}'\left( {{\Delta }_{1}} \right)=\left[ {f}'\left( -k \right),\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right) \right)=\left[ 0,1 \right)
\bullet H {f}' είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο {{\Delta }_{2}}=\left[ -k,k \right] άρα {f}'\left( {{\Delta }_{2}} \right)=\left[ {f}'\left( -k \right),{f}'\left( k \right) \right]=\left[ 0,2 \right]
\bullet H {f}' είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο {{\Delta }_{3}}=\left[ k,+\infty  \right) άρα {f}'\left( {{\Delta }_{3}} \right)=\left( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,,{f}'\left( k \right) \right]=\left( 1,2 \right]

Επομένως {f}'\left( {{D}_{f}} \right)={f}'\left( {{\Delta }_{1}} \right)\cup {f}'\left( {{\Delta }_{2}} \right)\cup {f}'\left( {{\Delta }_{3}} \right)=\left[ 0,1 \right)\cup \left[ 0,2 \right]\cup \left( 1,2 \right]=\left[ 0,2 \right]

Για το πλήθος των ριζών της εξίσωσης {f}'\left( x \right)=m,m\in \mathbb{R} έχουμε:
\centerdot Αν m<0 είναι αδύνατη
\centerdot Αν m=0\text{ }\text{ }m=1\text{ }\text{ }m=2 έχει μία ρίζα
\centerdot Αν 0<m<1\text{ }1<\text{ }m<2 έχει δύο ρίζες.
\centerdot Αν m>2 είναι αδύνατη

ε) Παρατηρούμε ότι {f}'\left( 0 \right)=1, άρα για \alpha =0\in \left( -k,k \right) η εφαπτομένη της στο σημείο \left( 0,f\left( 0 \right) \right) έχει σταθερή κλίση {f}'\left( 0 \right)=1.


Ελπίζω να είναι σωστές οι πράξεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης