Αλλαγή μεταβλητής

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

ann79
Δημοσιεύσεις: 257
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Αλλαγή μεταβλητής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Παρ Ιουν 02, 2017 10:24 am

Καλημέρα, όταν κάνουμε αλλαγή μεταβλητής σε ένα όριο, π.χ να θέσουμε h=x-x_{o} με x\rightarrow x_{o} ,
h\rightarrow 0, μπορούμε σε κάποιο μεμονωμένο σημείο του ορίου, να δουλέψουμε πάλι με την μεταβλητή x και όχι με την h;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2778
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Αλλαγή μεταβλητής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Ιουν 02, 2017 12:41 pm

ann79 έγραψε:Καλημέρα, όταν κάνουμε αλλαγή μεταβλητής σε ένα όριο, π.χ να θέσουμε h=x-x_{0} με x\rightarrow x_{0} , h\rightarrow 0, μπορούμε σε κάποιο μεμονωμένο σημείο του ορίου, να δουλέψουμε πάλι με την μεταβλητή x και όχι με την h;
Η έκφραση "κάποιο μεμονωμένο σημείο του ορίου" δεν ευσταθεί μαθηματικά. Εξ ορισμού η έννοια του ορίου (συνάρτησης) σχετίζεται με την συμπεριφορά της συνάρτησης σε ένα διάστημα. Ίσως δίνοντας ένα παράδειγμα κατανοήσουμε τι θέλεις να πεις.

Φιλικά


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αλλαγή μεταβλητής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιουν 02, 2017 11:58 pm

Ο Γρηγόρης έχει δίκιο ότι δεν ευσταθεί μαθηματικά η έκφραση ''κάποιο μεμονωμένο σημείο του ορίου''.

Νομίζω όμως ότι η ερώτηση είναι η εξής:

Μπορούμε να γράψουμε

\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\lim_{h\rightarrow 0}f(x_{0}+h)=\lim_{x\rightarrow 0}f(x_{0}+x)

Η απάντηση είναι ΝΑΙ.

Γιατί την μεταβλητή μπορούμε να την βαφτίζουμε όπως μας αρέσει.

π.χ δεν έχει κανένα μαθηματικό πρόβλημα να γράψουμε

\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{\bigstar \rightarrow 0}f(\bigstar )

Βέβαια είναι αντιαισθητικό.


ann79
Δημοσιεύσεις: 257
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Re: Αλλαγή μεταβλητής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Τρί Ιουν 06, 2017 4:38 pm

Καλησπέρα, σας ευχαριστώ για την απάντησή σας και τους δύο. Το συγκεκριμένο παράδειγμα που με προβληματίζει είναι το παρακάτω:

Αν για την ορισμένη στο R συνάρτηση f ισχύει f(x+y)=e^{y}f(x)+e^{x}f(y) και η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R.

Έστω τυχόν x_{o}\in RΓια να υπολογίσουμε το lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{f(x)-f(x_{o})}{x-x_{o}} θέτω x-x_{o}=h, \gamma \iota \alpha  x\rightarrow x_{o}, h\rightarrow 0, και έχω
lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{o}+h)-f(x_{o})}{h}=lim_{h\rightarrow 0}[\frac{f(h)}{h}e^{x_{o}}+f(x_{o})\frac{e^{h}-1}{h}] (1)


είναι lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h}-1}{h}=lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{e^{x-x_{o}}-1}{x-x_{o}}=lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{e^{x}-e^{x_{o}}}{e^{x_{o}}(x-x_{o})}=\frac{e^{x_{o}}}{e^{x_{o}}}

'Αρα το όριο 1 δίνει τελικά f'(0)e^{x_{o}}+f(x_{o}) και η f είναι παραγωγίσιμη στο R

Ο συλλογισμός που η μεταβλητή h "ξαναγυρνάει" σε x είναι σωστός;


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1406
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Αλλαγή μεταβλητής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Ιουν 06, 2017 7:37 pm

ann79 έγραψε:
είναι lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h}-1}{h}=lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{e^{x-x_{o}}-1}{x-x_{o}}=lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{e^{x}-e^{x_{o}}}{e^{x_{o}}(x-x_{o})}=\frac{e^{x_{o}}}{e^{x_{o}}}
Ο συλλογισμός που η μεταβλητή h "ξαναγυρνάει" σε x είναι σωστός;
Η εύρεση του παραπάνω ορίου είναι ανεξάρτητη από το ζητούμενο όριο
Μπορείς να επανέλθεις θεωρώντας ως μεταβλητή το \displaystyle{x} ή να αντικαταστήσεις το \displaystyle{h} με κάτι άλλο που εξυπηρετεί
Χρειάζεται όμως να πείς : Θέτω \displaystyle{h = x - {x_0},\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (x - {x_0}) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} x = {x_0}}


Kαλαθάκης Γιώργης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αλλαγή μεταβλητής

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιουν 06, 2017 7:51 pm

ann79 έγραψε:Καλησπέρα, σας ευχαριστώ για την απάντησή σας και τους δύο. Το συγκεκριμένο παράδειγμα που με προβληματίζει είναι το παρακάτω:

Αν για την ορισμένη στο R συνάρτηση f ισχύει f(x+y)=e^{y}f(x)+e^{x}f(y) και η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R.

Έστω τυχόν x_{o}\in RΓια να υπολογίσουμε το lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{f(x)-f(x_{o})}{x-x_{o}} θέτω x-x_{o}=h, \gamma \iota \alpha  x\rightarrow x_{o}, h\rightarrow 0, και έχω
lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{o}+h)-f(x_{o})}{h}=lim_{h\rightarrow 0}[\frac{f(h)}{h}e^{x_{o}}+f(x_{o})\frac{e^{h}-1}{h}] (1)


είναι lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h}-1}{h}=lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{e^{x-x_{o}}-1}{x-x_{o}}=lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{e^{x}-e^{x_{o}}}{e^{x_{o}}(x-x_{o})}=\frac{e^{x_{o}}}{e^{x_{o}}}

'Αρα το όριο 1 δίνει τελικά f'(0)e^{x_{o}}+f(x_{o}) και η f είναι παραγωγίσιμη στο R

Ο συλλογισμός που η μεταβλητή h "ξαναγυρνάει" σε x είναι σωστός;
Σωστός είναι.

Δεν καταλαβαίνω όμως.

Θες τον υπολογισμό του ορίουlim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h}-1}{h}

που όπως έγραψε και ο Γιώργης είναι ανεξάρτητο των άλλων.

Κάνεις DHL η λες ότι είναι η παράγωγος της e^{x} στο 0 και τελειώνεις.


RIS
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Τετ Μαρ 23, 2016 10:19 pm

Re: Αλλαγή μεταβλητής

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από RIS » Παρ Μαρ 22, 2019 11:09 pm

Καλησπέρα !
Μπορούμε σε κάποιο όριο, στο οποίο το χ τείνει στο 0 , να θέσουμε x=e^{u}+u-1
με το u να τείνει στο 0 ;
Αν ναι χρειάζεται αιτιολόγηση ότι το u τείνει στο 0 ;


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 402
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Αλλαγή μεταβλητής

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Μαρ 22, 2019 11:37 pm

Καλό βράδυ.
RIS έγραψε:
Παρ Μαρ 22, 2019 11:09 pm

το u τείνει στο 0 ;
Μπορείς να το αποδείξεις;


RIS
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Τετ Μαρ 23, 2016 10:19 pm

Re: Αλλαγή μεταβλητής

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από RIS » Σάβ Μαρ 23, 2019 9:23 am

Καλημέρα.
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Μαρ 22, 2019 11:37 pm
Καλό βράδυ.
RIS έγραψε:
Παρ Μαρ 22, 2019 11:09 pm

το u τείνει στο 0 ;
Μπορείς να το αποδείξεις;
Δεν μπορούμε απλά να απαιτήσουμε το u να τείνει στο 0 για να εξασφαλίσουμε ότι το χ τείνει στο 0;


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 402
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Αλλαγή μεταβλητής

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Μαρ 23, 2019 7:40 pm

RIS έγραψε:
Σάβ Μαρ 23, 2019 9:23 am
Καλημέρα.
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Μαρ 22, 2019 11:37 pm
Καλό βράδυ.
RIS έγραψε:
Παρ Μαρ 22, 2019 11:09 pm

το u τείνει στο 0 ;
Μπορείς να το αποδείξεις;
Δεν μπορούμε απλά να απαιτήσουμε το u να τείνει στο 0 για να εξασφαλίσουμε ότι το χ τείνει στο 0;
Αν απαιτήσουμε u\rightarrow 0 τότε όντως x=e^u+u-1\rightarrow 0. Εμείς όμως εδώ έχουμε το

''αντίστροφο ;) ;) '' πρόβλημα. Ξέρουμε ότι x=e^u+u-1\rightarrow 0 και θέλουμε να δούμε τι κάνει

το u. Δες το παρακάτω:

Αν x=u^2\rightarrow 1 τότε u\rightarrow 1. Είναι σωστό;

Υ.Γ. Η αντικατάσταση όντως μπορεί να γίνει αλλά έχει δουλειά για να δείξεις ότι όντως u\rightarrow0.

Αν θες γράψε το πρόβλημα που έχεις να λύσεις. Υποψιάζομαι ότι πας να κάνεις τη ζωή σου δύσκολη με μια τέτοια

αντικατάσταση. Μπορεί βέβαια και να σφάλλω.


RIS
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Τετ Μαρ 23, 2016 10:19 pm

Re: Αλλαγή μεταβλητής

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από RIS » Σάβ Μαρ 23, 2019 8:39 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Σάβ Μαρ 23, 2019 7:40 pm
RIS έγραψε:
Σάβ Μαρ 23, 2019 9:23 am
Καλημέρα.
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Μαρ 22, 2019 11:37 pm
Καλό βράδυ.
RIS έγραψε:
Παρ Μαρ 22, 2019 11:09 pm

το u τείνει στο 0 ;
Μπορείς να το αποδείξεις;
Δεν μπορούμε απλά να απαιτήσουμε το u να τείνει στο 0 για να εξασφαλίσουμε ότι το χ τείνει στο 0;
Αν απαιτήσουμε u\rightarrow 0 τότε όντως x=e^u+u-1\rightarrow 0. Εμείς όμως εδώ έχουμε το

''αντίστροφο ;) ;) '' πρόβλημα. Ξέρουμε ότι x=e^u+u-1\rightarrow 0 και θέλουμε να δούμε τι κάνει

το u. Δες το παρακάτω:

Αν x=u^2\rightarrow 1 τότε u\rightarrow 1. Είναι σωστό;

Υ.Γ. Η αντικατάσταση όντως μπορεί να γίνει αλλά έχει δουλειά για να δείξεις ότι όντως u\rightarrow0.

Αν θες γράψε το πρόβλημα που έχεις να λύσεις. Υποψιάζομαι ότι πας να κάνεις τη ζωή σου δύσκολη με μια τέτοια

αντικατάσταση. Μπορεί βέβαια και να σφάλλω.
Ευχαριστώ για την απάντηση !
Το πρόβλημα είνα:
Αν \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=0
να βρεθεί το όριο \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(e^{x}+x-1)}{x}
Όντως λύνεται πιο εύκολα διαιρώντας και πολλαπλασιάζοντας με την παράσταση e^{x}+x-1.
Στην άλλη περίπτωση μήπως θα μπορούσατε να δώσετε κάποια υπόδειξη για το πως θα δείξω ότι u->0 ;


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 402
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Αλλαγή μεταβλητής

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Μαρ 23, 2019 9:46 pm

RIS έγραψε:
Σάβ Μαρ 23, 2019 8:39 pm
Όντως λύνεται πιο εύκολα διαιρώντας και πολλαπλασιάζοντας με την παράσταση e^{x}+x-1.
Στην άλλη περίπτωση μήπως θα μπορούσατε να δώσετε κάποια υπόδειξη για το πως θα δείξω ότι u->0 ;
Γράψε τη λύση σου εδώ. Πάντως και πάλι η λύση που προτείνεις θέλει προσοχή.

1. Δες αν επιτρέπεται η διαίρεση με e^{x}+x-1.

2.Δες το θεώρημα αντικατάστασης στα όρια του σχολικού σου βιβλίου και αν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του πριν το εφαρμόσεις.

Στην ερώτησή σου τώρα. Αυτό είναι ένα ξεχωριστό πρόβλημα που κατά τη γνώμη μου ξεφεύγει από τα σχολικά πλαίσια.

Αν σε ενδιαφέρει δες τα παρακάτω.

α.Δείξε ότι η g(u)=e^{u}+u-1 είναι αντιστρέψιμη.

β. Δείξε, χρησιμοποιώντας το ΘΜΤ, ότι g ικανοποιεί την |g(x)-g(y)|\geq|x-y| για οποιαδήποτε x,y.

γ. Θέσε a=g(x),b=g(y) στην σχέση του (β) και συμπέρανε ότι |g^{-1}(a)-g^{-1}(b)|\leq|a-b|.

δ. Δείξε από την προηγούμενη σχέση του (γ) ότι η g^{-1} είναι συνεχής στο 0. Γράψε τη σχέση της συνέχειας με το όριο.

ε. Θέτοντας x=g(u) έχεις g^{-1}(x)=u. Αν φτάσεις ως εδώ μετά είναι εύκολο να την τελειώσεις την άσκηση. Μια γραμμή έμεινε.


RIS
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Τετ Μαρ 23, 2016 10:19 pm

Re: Αλλαγή μεταβλητής

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από RIS » Σάβ Μαρ 23, 2019 10:03 pm

Ευχαριστώ πολύ !!
Καλό βράδυ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης