Σωστό ή Λάθος

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2291
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Σωστό ή Λάθος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Μάιος 29, 2017 9:01 am

σωστό
αφου \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f'(x)=+\infty} υπάρχει \displaystyle{a}: για κάθε \displaystyle{x>a} να είναι \displaystyle{f'(x)>1}
Τώρα \displaystyle{f(t)-f(a)=(t-a)f'(u)>(t-a)} αν πάρουμε \displaystyle{t>u>a} ωστε να εφαρμόσουμε Κ.Π ? στην προηγούμενη σχέση


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3359
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σωστό ή Λάθος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μάιος 29, 2017 9:29 am

Γιώργος Τελώνης έγραψε:Αν \lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty

τότε \lim_{x \to +\infty }f(x)=+\infty

Ενδιαφέρον είναι και το εξής ισχυρότερο.

Αν \lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty

τότε \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{x}=+\infty

Σωστό η λάθος.


Γιώργος Τελώνης
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Δευ Ιαν 30, 2017 5:32 pm
Επικοινωνία:

Re: Σωστό ή Λάθος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Τελώνης » Δευ Μάιος 29, 2017 10:39 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Γιώργος Τελώνης έγραψε:Αν \lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty

τότε \lim_{x \to +\infty }f(x)=+\infty

Ενδιαφέρον είναι και το εξής ισχυρότερο.

Αν \lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty

τότε \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{x}=+\infty

Σωστό η λάθος.
Λαμβάνοντας υπόψιν και την απόδειξη του R BORIS έχουμε:

\lim_{x \to +\infty }\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{(f(x))'}{(x)'}=\lim_{x\rightarrow +\infty }f'(x)=+\infty

Οπότε σωστό


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3359
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σωστό ή Λάθος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μάιος 29, 2017 10:59 am

Πολύ σωστά Γιώργο.



Αφού υπάρχει ενδιαφέρον ας το δυσκολέψουμε περισσότερο

Αν \lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty

τότε \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=+\infty

ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ


Γιώργος Τελώνης
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Δευ Ιαν 30, 2017 5:32 pm
Επικοινωνία:

Re: Σωστό ή Λάθος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Τελώνης » Δευ Μάιος 29, 2017 5:17 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Πολύ σωστά Γιώργο.



Αφού υπάρχει ενδιαφέρον ας το δυσκολέψουμε περισσότερο

Αν \lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty

τότε \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=+\infty

ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ
Πιστεύω λάθος. Θα ανεβάσω το βράδυ μία απόδειξη με επιφύλαξη


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 356
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Σωστό ή Λάθος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Δευ Μάιος 29, 2017 9:41 pm

Γιώργος Τελώνης έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Πολύ σωστά Γιώργο.



Αφού υπάρχει ενδιαφέρον ας το δυσκολέψουμε περισσότερο

Αν \lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty

τότε \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=+\infty

ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ
Πιστεύω λάθος. Θα ανεβάσω το βράδυ μία απόδειξη με επιφύλαξη
Μια προσπάθεια με αντιπαράδειγμα...
Έστω συνάρτηση f(x)=x \ln x , παραγωγίσιμη με f' (x)= \ln x  + 1 .

Αν και \displaystyle \lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty έχουμε \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=1 .

Επομένως η πρόταση είναι λάθος.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Γιώργος Τελώνης
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Δευ Ιαν 30, 2017 5:32 pm
Επικοινωνία:

Re: Σωστό ή Λάθος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Τελώνης » Τρί Μάιος 30, 2017 8:01 am

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Γιώργος Τελώνης έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Πολύ σωστά Γιώργο.



Αφού υπάρχει ενδιαφέρον ας το δυσκολέψουμε περισσότερο

Αν \lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty

τότε \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=+\infty

ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ
Πιστεύω λάθος. Θα ανεβάσω το βράδυ μία απόδειξη με επιφύλαξη
Μια προσπάθεια με αντιπαράδειγμα...
Έστω συνάρτηση f(x)=x \ln x , παραγωγίσιμη με f' (x)= \ln x  + 1 .

Αν και \displaystyle \lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty έχουμε \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=1 .

Επομένως η πρόταση είναι λάθος.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Πανέξυπνο. Η δική μου προσέγγιση -που πολύ φοβάμαι ότι έχει κάποιο λογικό άλμα στο τέλος- είναι η εξής:

(Θεωρούμε από τις προηγούμενες δημοσιεύσεις γνωστό ότι \lim_{x \mapsto +\infty }f(x)=+\infty και \lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{x}=+\infty )

Έχουμε

\large \lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{xlnx}=\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{\frac{f(x)}{x}}{lnx}=\lim_{x \mapsto +\infty}\frac{(\frac{f(x)}{x})'}{(xlnx)'}= \lim_{x \mapsto +\infty }\frac{\frac{xf'(x)-f(x)}{x^{2}}}{\frac{1}{x}}= 
 
 
 
 
\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{xf'(x)-f(x)}{x}=\lim_{x \mapsto +\infty }(f'(x)-\frac{f(x)}{x})=\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{x}= 
 
 
 
 
\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }(\frac{(f(x))'}{(x)'}=0


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σωστό ή Λάθος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 30, 2017 8:56 am

Ένα κακώς κείμενο εδώ:
Γιώργος Τελώνης έγραψε:
\lim_{x \mapsto +\infty }(f'(x)-\frac{f(x)}{x})=\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{x}=
και ένα δεύτερο εδώ:
Γιώργος Τελώνης έγραψε:\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }(\frac{(f(x))'}{(x)'}=0
Θα σου ήταν χρήσιμο να καταλάβεις γιατί είναι σοβαρά σφάλματα αυτά.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2291
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Σωστό ή Λάθος

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Μάιος 30, 2017 9:17 am

Συνεχίζω:
\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f'(x)}=0} τότε \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=0}
σωστό ή λάθος?


Γιώργος Τελώνης
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Δευ Ιαν 30, 2017 5:32 pm
Επικοινωνία:

Re: Σωστό ή Λάθος

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Τελώνης » Τρί Μάιος 30, 2017 10:03 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ένα κακώς κείμενο εδώ:
Γιώργος Τελώνης έγραψε:
\lim_{x \mapsto +\infty }(f'(x)-\frac{f(x)}{x})=\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{x}=
και ένα δεύτερο εδώ:
Γιώργος Τελώνης έγραψε:\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }(\frac{(f(x))'}{(x)'}=0
Θα σου ήταν χρήσιμο να καταλάβεις γιατί είναι σοβαρά σφάλματα αυτά.
Το δεύτερο το αντιλαμβάνομαι. Το πρώτο όμως, από τη στιγμή ξέρω ότι υπάρχουν τα όρια, δεν καταλαβαίνω γιατί είναι λάθος για να είμαι ειλικρινής


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σωστό ή Λάθος

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 30, 2017 10:24 am

R BORIS έγραψε:Συνεχίζω:
\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f'(x)}=0} τότε \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=0}
σωστό ή λάθος?
Ροδόλφε: Την Καλημέρα μου και θα τα πούμε σύνομα από κοντά.

Το παραπάνω: Σωστό.

Μία λύση με εψιλοντικό ορισμό (εκτός ύλης, υποθέτω).

Για \epsilon >0 υπάρχει εξ υποθέσεως a τέτοιο ώστε για x\ge a να ισχύει |f'(x)|< \epsilon. Από Θ.Μ.Τ. έχουμε για κάποιο \xi \in (a , x)

\displaystyle{ \left | \frac {f(x)}{x}\right |=  \left | \frac {f(a)+ (x-a)f'(\xi)}{x}\right |\le  \left | \frac {f(a)}{x}\right | + \left | \frac {x-a }{x}\right | \left | f'(\xi)\right |  \le \left | \frac {f(a)}{x}\right | + 1\cdot \epsilon < 2 \epsilon}

αρκεί το x να είναι κατάλληλα μεγάλο. Και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2291
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Σωστό ή Λάθος

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Μάιος 30, 2017 1:30 pm

Καλή σου μέρα Μιχάλη
τέλος ακόμη μια (έχω λυση εκτός ύλης)
Αν : \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f'(x)}=m>0} τότε \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=m} και \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty}
Σωστό ή Λάθος?


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σωστό ή Λάθος

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 30, 2017 3:38 pm

R BORIS έγραψε: Αν : \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f'(x)}=m>0} τότε \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=m} και \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty}
Σωστό ή Λάθος?
Σωστό.

Εφαρμόζουμε το προηγούμενο στην g όπου g(x)=f(x)-mx.

Συγκεκριμένα, δεδομένου ότι g'(x) \to m-m=0 έχουμε \frac{f(x)}{x}-m = \frac {g(x)}{x}\to 0.

To τελευταίο ζητούμενο έπεται από το γεγονός ότι για μεγάλα x είναι \frac{f(x)}{x} \ge \frac{m}{2}>0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες