Βρείτε τη ρίζα...

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Βρείτε τη ρίζα...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Σάβ Μάιος 13, 2017 4:31 pm

Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: \displaystyle{\ln x\left ( \frac{\ln x }{4}-\sqrt{x-1}\right )=\sqrt{x}-x}, \displaystyle{x\geqslant 1} Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Βρείτε τη ρίζα...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Δευ Μάιος 15, 2017 2:35 pm

M.S.Vovos έγραψε:Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: \displaystyle{\ln x\left ( \frac{\ln x }{4}-\sqrt{x-1}\right )=\sqrt{x}-x}, \displaystyle{x\geqslant 1} Φιλικά,
Μάριος
...μία ημιτελής προσπάθεια....

Προφανής ρίζα είναι η x=1 και για x>1η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

{{\left( \frac{\ln x}{2} \right)}^{2}}-2\frac{1}{2}\ln x\sqrt{x-1}+{{\sqrt{x-1}}^{2}}=\sqrt{x}-1 ή {{\left( \frac{\ln x}{2}-\sqrt{x-1} \right)}^{2}}=\sqrt{x}-1,\,\,\,x\ge 1 ή

\left| \frac{\ln x}{2}-\sqrt{x-1} \right|=\sqrt{\sqrt{x}-1},\,\,\,x>1(1)

Τώρα η συνάρτηση f(x)=\frac{\ln x}{2}-\sqrt{x-1},\,\,\,x\in [1,\,\,+\infty ) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (1,\,\,+\infty ) με

{f}'(x)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}=\frac{\sqrt{x-1}-x}{2x\sqrt{x-1}} και επειδή η

{f}'(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-x=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=x είναι αδύνατη άρα {f}'(x)\ne 0,\,\,x\in (1,\,\,+\infty )

και είναι και συνεχής επομένως θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (1,\,\,+\infty ) και αφού

{f}'(2)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}=-\frac{1}{4}<0 είναι {f}'(x)<0,\,\,x\in (1,\,\,+\infty ) άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο

[1,\,\,+\infty ) οπότε για x>1 είναι f(x)<f(1)=0 και η εξίσωση (1) γράφεται ισοδύναμα

-\frac{\ln x}{2}+\sqrt{x-1}=\sqrt{\sqrt{x}-1}\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x-1}+\frac{1}{2}\ln x=0,\,\,\,x>1

...και μετά :wallbash:... ίσως ή προσέγγιση να μην είναι αυτή θα δείξει...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2678
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Βρείτε τη ρίζα...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 16, 2017 10:45 pm

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: \displaystyle{\ln x\left ( \frac{\ln x }{4}-\sqrt{x-1}\right )=\sqrt{x}-x}, \displaystyle{x\geqslant 1} Φιλικά,
Μάριος
...μία ημιτελής προσπάθεια....

Προφανής ρίζα είναι η x=1 και για x>1η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

{{\left( \frac{\ln x}{2} \right)}^{2}}-2\frac{1}{2}\ln x\sqrt{x-1}+{{\sqrt{x-1}}^{2}}=\sqrt{x}-1 ή {{\left( \frac{\ln x}{2}-\sqrt{x-1} \right)}^{2}}=\sqrt{x}-1,\,\,\,x\ge 1 ή

\left| \frac{\ln x}{2}-\sqrt{x-1} \right|=\sqrt{\sqrt{x}-1},\,\,\,x>1(1)

Τώρα η συνάρτηση f(x)=\frac{\ln x}{2}-\sqrt{x-1},\,\,\,x\in [1,\,\,+\infty ) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (1,\,\,+\infty ) με

{f}'(x)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}=\frac{\sqrt{x-1}-x}{2x\sqrt{x-1}} και επειδή η

{f}'(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-x=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=x είναι αδύνατη άρα {f}'(x)\ne 0,\,\,x\in (1,\,\,+\infty )

και είναι και συνεχής επομένως θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (1,\,\,+\infty ) και αφού

{f}'(2)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}=-\frac{1}{4}<0 είναι {f}'(x)<0,\,\,x\in (1,\,\,+\infty ) άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο

[1,\,\,+\infty ) οπότε για x>1 είναι f(x)<f(1)=0 και η εξίσωση (1) γράφεται ισοδύναμα

-\frac{\ln x}{2}+\sqrt{x-1}=\sqrt{\sqrt{x}-1}\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x-1}+\frac{1}{2}\ln x=0,\,\,\,x>1

...και μετά :wallbash:... ίσως ή προσέγγιση να μην είναι αυτή θα δείξει...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης





Σίγουρα δεν είναι αυτή Βασίλη.Γιατί το συνέχισα χρησιμοποιώντας πυρηνικά και πάλι είναι μεγάλη η λύση.
Πιστεύω ότι ο Μάριος θα έχει κομψή και εύκολη λύση την όποια θα μας την γράψει.


Andreas Panteris
Δημοσιεύσεις: 171
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 10:56 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Βρείτε τη ρίζα...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Andreas Panteris » Τετ Μάιος 17, 2017 10:20 am

Αγαπητοί Συνάδελφοι Καλημέρα

Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

\frac{1}{4}{{\ln }^{2}}x-2\frac{\ln x}{2}\left( \sqrt{x}-1 \right)+{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}=\sqrt{x}-x+{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{2}\ln x-\left( \sqrt{x}-1 \right) \right)}^{2}}=\sqrt{x}-x+x-2\sqrt{x}+1\Leftrightarrow

\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{2}\ln x-\left( \sqrt{x}-1 \right) \right)}^{2}}=1-\sqrt{x} \left( 1 \right)

H \left( 1 \right)έχει προφανή ρίζα την x=1

Για x>1\Leftrightarrow \sqrt{x}>1\Leftrightarrow 1-\sqrt{x}<0 , άρα η \left( 1 \right) είναι αδύνατη.

Επομένως έχει μοναδική ρίζα την x=1


Andreas Panteris
Δημοσιεύσεις: 171
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 10:56 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Βρείτε τη ρίζα...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Andreas Panteris » Τετ Μάιος 17, 2017 1:00 pm

Αγαπητοί Συνάδελφοι Καλημέρα

O δαίμων του τυπογραφείου (την προσπαθούσαμε το πρωί στο σχολείο) αντί για \displaystyle{\sqrt{x-1}} έγραψε \displaystyle{\sqrt{x}-1}.


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Βρείτε τη ρίζα...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Μάιος 17, 2017 3:16 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σίγουρα δεν είναι αυτή Βασίλη.Γιατί το συνέχισα χρησιμοποιώντας πυρηνικά και πάλι είναι μεγάλη η λύση.
Πιστεύω ότι ο Μάριος θα έχει κομψή και εύκολη λύση την όποια θα μας την γράψει.
Σαφέστατα Σταύρο έχω κομψή λύση μεν, σε καμία περίπτωση προφανή και εύκολη δε!

Να πω ότι την άσκηση την συνδέω με το προηγούμενο θέμα μου, που συζητήσαμε.

Σας θυμίζει κάτι αν x=t^{2}+1, t\in \mathbb{R};

Φιλικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2678
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Βρείτε τη ρίζα...

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 24, 2017 5:33 pm

Καλησπέρα Μάριε.
Νομίζω ότι ήρθε η ώρα να βάλεις την λύση σου και να κλείσει το θέμα.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Βρείτε τη ρίζα...

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Μάιος 24, 2017 9:15 pm

Ένα ωραίο ενδιάμεσο ερώτημα θα ήταν:

Αποδείξτε ότι

\displaystyle \ln x < \sqrt{x^2-1} - \sqrt{x-1} για x \in (1, + \infty)


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Andreas Panteris
Δημοσιεύσεις: 171
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 10:56 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Βρείτε τη ρίζα...

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Andreas Panteris » Σάβ Μάιος 27, 2017 8:09 pm

Μπορούμε να περιμένουμε λίγο ακόμα?


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2678
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Βρείτε τη ρίζα...

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιουν 25, 2017 1:05 am

M.S.Vovos έγραψε:Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: \displaystyle{\ln x\left ( \frac{\ln x }{4}-\sqrt{x-1}\right )=\sqrt{x}-x}, \displaystyle{x\geqslant 1} Φιλικά,
Μάριος

Δεν νομίζεις Μάριε ότι πρέπει να βάλεις την λύση σου σε αυτή την ενδιαφέρουσα άσκηση;


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Βρείτε τη ρίζα...

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Ιουν 25, 2017 1:45 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: \displaystyle{\ln x\left ( \frac{\ln x }{4}-\sqrt{x-1}\right )=\sqrt{x}-x}, \displaystyle{x\geqslant 1} Φιλικά,
Μάριος

Δεν νομίζεις Μάριε ότι πρέπει να βάλεις την λύση σου σε αυτή την ενδιαφέρουσα άσκηση;
Σταύρο καλησπέρα και ευχαριστώ που μου το θύμησες (με την εξεταστική δε προλαβαίνω να ασχοληθώ πολύ με το :logo:).

Η άσκηση δεν είχε ανέβει τυχαία. Εν ολίγοις, η λύση που έχω πατά στην άσκηση που είχα ανεβάσει εδώ και συγκεκριμένα στο ερώτημα (γ.ii.)!
\displaystyle{f(x)+x=2f^{-1}(x)\Leftrightarrow f\left ( \frac{f(x)+x}{2} \right )=x\Leftrightarrow \frac{f(x)+x}{2}+\ln \left [ \left ( \frac{f(x)+x}{2} \right )^{2}+1 \right ]=x}\Leftrightarrow ... Μετά από πράξεις (αρκετές) και την αλλαγή μεταβλητής που έδωσα παραπάνω, προκύπτει το ζητούμενο.

Όταν ξεμπλέξω με τα μαθήματα θα ανεβάσω λύση, αν και νομίζω πως ο κ. Δημήτρης (dement) έχει λύση, από τα λεγόμενα του.

Καλό βράδυ.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Βρείτε τη ρίζα...

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Ιουν 26, 2017 1:40 pm

Δίνω τη λύση μου. Προφανώς x \geqslant 1 και η x=1 είναι λύση.

Λύνοντας το τριώνυμο ως προς \ln x έχουμε

\displaystyle \ln x = 2 \left( \sqrt{x-1} \pm \sqrt{\sqrt{x}-1} \right)

Για x>1 η πρώτη λύση απορρίπτεται εύκολα επειδή \displaystyle \ln (\sqrt{x}) < \sqrt{x}-1 < \sqrt{x-1} και έτσι \displaystyle \ln u = \ln (u^2) - \ln u = \sqrt{u^2-1} - \sqrt {u-1} όπου u \equiv \sqrt{x}.

Αλλά η συνάρτηση \displaystyle \ln u - \sqrt{u-1} είναι γνησίως φθίνουσα στο (1,+\infty), οπότε η μοναδική λύση είναι x=1.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Βρείτε τη ρίζα...

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Δευ Ιουν 26, 2017 4:30 pm

dement έγραψε:Δίνω τη λύση μου. Προφανώς x \geqslant 1 και η x=1 είναι λύση.

Λύνοντας το τριώνυμο ως προς \ln x έχουμε

\displaystyle \ln x = 2 \left( \sqrt{x-1} \pm \sqrt{\sqrt{x}-1} \right)

Για x>1 η πρώτη λύση απορρίπτεται εύκολα επειδή \displaystyle \ln (\sqrt{x}) < \sqrt{x}-1 < \sqrt{x-1} και έτσι \displaystyle \ln u = \ln (u^2) - \ln u = \sqrt{u^2-1} - \sqrt {u-1} όπου u \equiv \sqrt{x}.

Αλλά η συνάρτηση \displaystyle \ln u - \sqrt{u-1} είναι γνησίως φθίνουσα στο (1,+\infty), οπότε η μοναδική λύση είναι x=1.
:coolspeak: Απλή και περιεκτική λύση!


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Παπαστεργίου Κώστας
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2016 2:36 pm

Re: Βρείτε τη ρίζα...

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παπαστεργίου Κώστας » Τρί Ιουν 27, 2017 10:31 am

Αν έχετε την ευχαρίστηση εξηγήστε πως συνδέετε τη μονοτονία της lnu-\sqrt{u-1} με την εξίσωση lnu=\sqrt{u^{2}-1}-\sqrt{u-1}
Ευχαριστώ
ΠΚ


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Βρείτε τη ρίζα...

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Ιουν 27, 2017 11:56 am

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε:Αν έχετε την ευχαρίστηση εξηγήστε πως συνδέετε τη μονοτονία της lnu-\sqrt{u-1} με την εξίσωση lnu=\sqrt{u^{2}-1}-\sqrt{u-1}
Ευχαριστώ
ΠΚ
Θέτοντας f(u) \equiv \ln u - \sqrt{u-1} η εξίσωση γράφεται ως f(u) = f(u^2), αδύνατη λόγω μονοτονίας για u>1.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες