Απ΄το σχολικό

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Απ΄το σχολικό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Απρ 17, 2017 9:26 am

Σχολικό , Παρ. 2.5 , Β΄ομάδα , άσκηση 6

Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο \displaystyle{[-1,\,1]} και ισχύει \displaystyle{{f}'(x)\le 1} για κάθε \displaystyle{x\in (-1,\,1)}.
Αν \displaystyle{f(-1)=-1} και \displaystyle{f(1)=1}, να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(0)=0}, εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle{[-1,\,0]} και \displaystyle{[0,\,1]}.

Αποδείξτε , γενικότερα , ότι \displaystyle{f(x)=x} για κάθε \displaystyle{x} στο \displaystyle{[ - 1,1]}.


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1414
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Απ΄το σχολικό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Δευ Απρ 17, 2017 10:31 am

Αν \displaystyle{x =  - 1} ή \displaystyle{x =  1,} τότε το ζητούμενο ισχύει. Έστω \displaystyle{x \in \left( { - 1,1} \right).} Με εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle{\left[ { - 1,x} \right]} και \displaystyle{\left[ {x,1} \right]} έχουμε ότι υπάρχουν \displaystyle{{\xi _1} \in \left( { - 1,x} \right)} και \displaystyle{{\xi _2} \in \left( {x,1} \right)} τέτοια, ώστε

\displaystyle{f'\left( {{\xi _1}} \right) = \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{f\left( x \right) + 1}}{{x + 1}}}

και

\displaystyle{f'\left( {{\xi _2}} \right) = \frac{{f\left( 1 \right) - f\left( x \right)}}{{1 - x}} = \frac{{1 - f\left( x \right)}}{{1 - x}} = \frac{{f\left( x \right) - 1}}{{x - 1}}.}

Είναι

\displaystyle{f'\left( {{\xi _1}} \right) \le 1 \Rightarrow \frac{{f\left( x \right) + 1}}{{x + 1}} \le 1\mathop  \Rightarrow \limits^{x + 1 > 0} f\left( x \right) + 1 \le x + 1 \Rightarrow f\left( x \right) \le x}

και

\displaystyle{f'\left( {{\xi _2}} \right) \le 1 \Rightarrow \frac{{f\left( x \right) - 1}}{{x - 1}} \le 1\mathop  \Rightarrow \limits^{x - 1 < 0} f\left( x \right) - 1 \ge x - 1 \Rightarrow f\left( x \right) \ge x,}

οπότε \displaystyle{f\left( x \right) = x} και το ζητούμενο δείχθηκε.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4285
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Απ΄το σχολικό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Απρ 17, 2017 10:47 am

To θέμα αυτό το είχα ζητήσει σε διαγώνισμα (το πλήρες διαγώνισμα μπορείτε να το βρείτε εδώ) πριν 10 χρόνια στο Λύκειο Ευαγγελικής.
Η διατύπωση ήταν η ακόλουθη:

ΖΗΤΗΜΑ 2

'Εστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο \left[ -1,1\right], παραγωγίσιμη στο \left( -1,1\right) και ισχύει
\bullet \,\,\displaystyle{\displaystyle{f^{\prime }\left( x\right) \leq 1 για κάθε x\in \left( -1,1\right) 
\bullet \,\,}f\left( -1\right) =-1
\bullet \,\,\displaystyle{f\left( 1\right) =1
1) Εφαρμόζοντας το θεώρημα μέσης τιμής σε κάθε ένα από τα διαστήματα \left[ -1,0\right], \left[ 0,1\right], ή με άλλο τρόπο, να αποδείξετε ότι f\left( 0\right) =0.
2) Nα βρείτε τη συνάρτηση f.

Από τους μαθητές μου ζητούσα να γνωρίζουν ότι συναρτήσεις με μη αρνητική παράγωγο είναι αύξουσες και η λύση που τους έδωσα στο τέλος του διαγωνίσματος ήταν η ακόλουθη:

Θεωρούμε την συνάρτηση g\left( x\right) =f\left( x\right) -x. Είναι g^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right) -1\leq 0. Αποδεικνύεται ότι αφού g^{\prime }\left( x\right) \leq 0 η g είναι φθίνουσα. Η απόδειξη γίνεται με το θεώρημα μέσης τιμής όπως ακριβώς γίνεται και για την περίπτωση όπου η παράγωγος είναι αρνητική. 'Αρα για κάθε x με -1  \leq x \leq 1 θα είναι g\left( -1\right) \leq g\left( x\right) \leq g\left( 1\right) δηλαδή 0\leq g\left( x\right) \leq 0. 'Αρα g(x)=0 γιά κάθε x και επομένως είναι f(x)=x για κάθε x.

Φυσικά η ευρηματικότητα των παιδιών απέδωσε και άλλες λύσεις

Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Απ΄το σχολικό

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Δευ Απρ 17, 2017 1:00 pm

Μάλιστα μπορεί να "γενικευθεί" για οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής [a,b], με f(a)=a και f(b)=b, παραγωγίσιμη στο (a,b) τέτοια ώστε f'(x)\leqslant 1, για κάθε x\in (a,b). Πάντα η μόνη συνάρτηση που ικανοποιεί είναι η ταυτοτική στο κλειστό διάστημα [a,b].

Μια ωραία εφαρμογή της τεχνικής αυτής συζητήθηκε και εδώ: viewtopic.php?f=56&t=57102

Φιλικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης