Ερώτηση

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

NikosB
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 11, 2016 1:14 am

Ερώτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από NikosB » Τετ Μαρ 22, 2017 11:05 pm

Αν εφαρμόσουμε ΘΜΤ για μια συνάρτηση στο [x,x+1] το f'(x_{o}) Και έχουμε βγάλει μια ανισοτικη σχέση που περιέχει αυτό και το Χο μπορούμε να πούμε ότι το x_{o}=x εφόσον μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε σε αυτό το διάστημα; x> 1



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12135
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ερώτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μαρ 22, 2017 11:08 pm

NikosB έγραψε:Αν εφαρμόσουμε ΘΜΤ για μια συνάρτηση στο [x,x+1] το f'(x_{o}) Και έχουμε βγάλει μια ανισοτικη σχέση που περιέχει αυτό και το Χο μπορούμε να πούμε ότι το x_{o}=x εφόσον μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε σε αυτό το διάστημα; x> 1
Η ερώτηση είναι αρκετά ασαφής και γενικόλογη. Το καλύτερο είναι να γράψεις ακριβώς τα βήματα που έκανες, και θα σου απαντήσουμε σε συγκεκριμένο σημείο.


NikosB
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 11, 2016 1:14 am

Re: Ερώτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από NikosB » Πέμ Μαρ 23, 2017 8:18 am

Έχω να αποδείξω ότι lnx/x+1< (ln^{2}(1+x)-ln^{2}x)/2< ln(x+1)/x x>1
Θεώρησα μια συνάρτηση \ln^{2}x, x>1 εφαρμοσα ΘΜΤ στο παραπάνω διάστημα και μελέτησα την συνάρτηση που έθεσα ως προς την μονοτονία της f'(x) η οποία ειναι γνησιως αύξουσα στο [1,e] Και φθίνουσα [e,+\infty)
Εκει που είναι γνησιως αύξουσα για x<x_{o}<x+1
Εκεί που ειναι γνησιως φθίνουσα δεν μου βγαίνει


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2850
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ερώτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Μαρ 23, 2017 9:21 am

NikosB έγραψε:Έχω να αποδείξω ότι lnx/x+1< (ln^{2}(1+x)-ln^{2}x)/2< ln(x+1)/x x>1 ..
Η ανισότητα είναι

\displaystyle\frac{\ln{x}}{x+1}<\frac{1}{2}\,(\ln^{2}(1+x)-\ln^{2}x)< \frac{\ln(x+1)}{x}\,,\; x>1 ;

ή

\displaystyle\frac{\ln{x}}{x}+1<\frac{1}{2}\,(\ln^{2}(1+x)-\ln^{2}x)< \frac{\ln(x+1)}{x}\,,\; x>1 ;

ή μήπως

\displaystyle\frac{\ln{x}}{x}+1<\frac{1}{2}\,(\ln^{2}(1+x)-\ln^{2}x)< \ln\frac{x+1}{x}\,,\; x>1 ;

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Δεν είναι για τυπικούς λόγους που πρέπει οι μαθηματικές εκφράσεις πρέπει να είναι σωστά γραμμένες σε κώδικα LaTeX.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3030
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ερώτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μαρ 23, 2017 9:29 am

Καλημέρα Νίκο.

Αν είναι η πρώτη από τις ανισότητες που έγραψε ο Γρηγόρης τότε

1)Διαφορά τετραγώνων

2)Χρήση της 1-\frac{1}{x}\leq lnx\leq x-1


NikosB
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 11, 2016 1:14 am

Re: Ερώτηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από NikosB » Πέμ Μαρ 23, 2017 2:34 pm

Είναι η πρώτη από τις ανισότητες την έλυσα κατασκευαστικά x<x_{o}<x+1\rightarrow
1/x>1/x_{o}>1/x+1 (1)
\ln x<\ln x_{o}<\ln(x+1) (2)
Αν πολλαπλασιάσουμε τις (1),(2)
Και από το ΘΜΤ για την \ln^{2}x στο [x,x+1]
Προκύπτει αυτή που θέλουμε να αποδείξουμε
Συγγνώμη για την τυχόν ταλαιπωρία που προκάλεσα
Δεν είχα δει καλά την ανισότητα και είχα βάλει τους παρανομαστες λάθος
Ευχαριστώ


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2850
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ερώτηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Μαρ 23, 2017 5:11 pm

NikosB έγραψε:Είναι η πρώτη από τις ανισότητες την έλυσα κατασκευαστικά x<x_{o}<x+1\rightarrow
1/x>1/x_{o}>1/x+1 (1)
\ln x<\ln x_{o}<\ln(x+1) (2)
Αν πολλαπλασιάσουμε τις (1),(2)
Και από το ΘΜΤ για την \ln^{2}x στο [x,x+1]
Προκύπτει αυτή που θέλουμε να αποδείξουμε
...
Κάτι δεν πάει καλά με την εφαρμογή του ΘΜΤ στο [x,x+1] για την συνάρτηση f(x)=\ln^2{x}\,,\; x>1, σε σχέση με την συγκεκριμένη ανισότητα

\displaystyle\frac{\ln{x}}{x+1}<\frac{1}{2}\,\big(\ln^2(x+1)-\ln^2{x}\big)<\frac{\ln({x+1})}{x}\quad(*)\,.

Αν η παράγωγος f'(x)=\frac{2\ln{x}}{x}\,,\; x>1 ήταν μονότονη (που δεν είναι στο [1,+\infty) ), τότε τότε για x_0\in(x,x+1) θα προέκυπτε η ανισότητα

\begin{aligned} 
f'(x)<f'(x_0)<f'(x+1)\quad\Rightarrow\quad\frac{\ln{x}}{x}<\frac{1}{2}\,\big(\ln^2(x+1)-\ln^2{x}\big)<\frac{\ln({x+1})}{x+1} \quad(**) 
\end{aligned}

και όχι η (*). Αλλά και η (**) δεν μπορεί να αποδειχθεί με την εφαρμογή του ΘΜΤ στο [x,x+1], αφού η f'(x) αλλάζει μονοτονία στο x={\rm{e}}. π.χ. πως θα αντιμετωπίζαμε την περίπτωση x<{\rm{e}}<x+1 ;

Φιλικά


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης