Σχεδιάστε

#1

Δίνεται η περιττή και παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ . Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου της , σχεδιασμένης στο $\displaystyle{[0,+\infty )}$ .
Αν $\displaystyle{f(2)=-2}$ , να σχεδιάσετε προσεγγιστικά τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ .

Tolaso J Kos · #2

Μία προσπάθεια χωρίς τη σχεδίαση βέβαια διότι δεν είμαι εξοικοιωμένος στο να σχεδιάζω "τυχαίες" καμπύλες.

Εφόσον η

είναι περιττή η

είναι άρτια. Συνεπώς από το γράφημα συνάγουμε ότι έχει ρίζα και το

.Τότε εκμεταλλευόμενοι πάλι τη γραφική παράσταση της

βλέπουμε ότι $f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ . Οπότε η

στα διαστήματα αυτά είναι γνήσια αύξουσα και φυσικά στο διάστημα [-2, 2]

είναι γνήσια φθίνουσα. Επίσης επειδή η

είναι περιττή θα είναι επίσης f(0)=0

. Τέλος αφού f(2)=-2

θα είναι

όπου φυσικά στο x_0=2

η

παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ενώ στο x_0=-2

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Η γραφική παράσταση έπεται.

Ας βάλει κάποιος ένα σχήμα. Θα το εκτιμούσα.

KARKAR · #3

: f από f'.png (12.08 KiB) Προβλήθηκε 1592 φορές

Tolaso J Kos · #4

Thank you Θανάσης ... Υπέροχο σχήμα.

KARKAR · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ... Υπέροχο σχήμα.

Το σχήμα στηρίχθηκε στην υπόθεση ότι η παράγωγος είναι παραβολή με κορυφή το σημείο $(0,-\dfrac{3}{2})$ .

Εύκολα τώρα είναι : $f'(x)=\dfrac{3}{8}x^2-\dfrac{3}{2}$ , οπότε ολοκληρώνοντας και αξιοποιώντας το f(2)=-2

,

προκύπτει ότι είναι : $f(x)=\dfrac{1}{8}x^3-\dfrac{3}{2}x$ . Πιθανότατα αυτή είχε κατά νου ο θεματοδότης ...

Christos.N · #6

Ανάλογα με τον Θανάση λίγο πιο αναλυτικά:

Απο την : $\displaystyle{\left( {cf\left( x \right)} \right)' = cf'\left( x \right)}$

Θεωρούμε στην αρχή την $\displaystyle{f'\left( x \right) = {x^2} - 4}$ (κάνει την δουλειά μας)

Βρίσκουμε την αρχική της $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - 4x}$ , μένει να βρεθεί σταθερά για την οποία $\displaystyle{cf\left( 2 \right) = - 2 \Rightarrow c = \frac{3}{8}}$ .

Αρκεί να θεωρήσουμε την $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{3}{8}f\left( x \right)}$ , έχει όλες τις ζητούμενες ιδιότητες.

Κατά την ταπεινή μου άποψη από τα πιο ωραία θέματα για την εξέταση των γνώσεων της Γ' Λυκείου.

#7

Υπήρχαν δεκάδες αν όχι εκατοντάδες τέτοια παραδείγματα σχεδιασμού συνάρτησης από το γράφημα της παραγώγου ή της δεύτερης παραγώγου, μερικά πολύ πονηρά, στην ιστοσελίδα της American Mathematical Association, αλλά δεν τα βρίσκω.

Επίσης υπάρχουν ωραία λογισμικά για αυτήν την δουλειά στο

http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoG ... ph_AD.html

και στο

http://mathdemos.org/mathdemos/function ... ction.html

Μπορούν να αξιοποιηθούν ωραιότατα στην διδασκαλία.

Σχεδιάστε

Σχεδιάστε

Re: Σχεδιάστε

Re: Σχεδιάστε

Re: Σχεδιάστε

Re: Σχεδιάστε

Re: Σχεδιάστε

Re: Σχεδιάστε

Μέλη σε σύνδεση