Σελίδα 1 από 1

Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Φεβ 12, 2017 11:21 pm
από M.S.Vovos
Άλλη μία βραδινή.
Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}, με 0<a<b. Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα σημεία A\left ( a,f(a) \right ) και B\left ( b,f(b) \right ), διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει \xi \in \left ( a,b \right ) τέτοιο ώστε το σημείο M\left ( \xi ,f(\xi ) \right ) να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 13, 2017 12:56 am
από KAKABASBASILEIOS
M.S.Vovos έγραψε:
Άλλη μία βραδινή.
Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}, με 0<a<b. Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα σημεία A\left ( a,f(a) \right ) και B\left ( b,f(b) \right ), διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει \xi \in \left ( a,b \right ) τέτοιο ώστε το σημείο M\left ( \xi ,f(\xi ) \right ) να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος
ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Οι εφαπτόμενες στα A\left ( a,f(a) \right ) και B\left ( b,f(b) \right ), που είναι οι

y-f(a)={f}'(a)(x-a),\,\,\,y-f(\beta )={f}'(\beta )(x-\beta ) αφού διέρχονται από την αρχή των αξόνων θα ισχύουν

-f(a)={f}'(a)(-a),\,\,\,-f(\beta )={f}'(\beta )(-\beta ) ή

f(a)=a{f}'(a),\,\,\,f(\beta )=\beta {f}'(\beta ) έτσι για την συνάρτηση g(x)=x{f}'(x)-f(x),\,\,x\in [a,\,\,\beta ]

που είναι παραγωγίσιμη με {g}'(x)={f}'(x)+x{f}''(x)-{f}'(x)=x{f}''(x) υπάρχει \xi \in (\alpha ,\,\beta ) ώστε

{g}''(\xi )=0\Leftrightarrow \xi {f}''(\xi )=0\Leftrightarrow {f}''(\xi )=0 αφού 0<a<b και άρα \xi \ne 0

επομένως η πρόταση είναι αληθής

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 13, 2017 2:08 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
M.S.Vovos έγραψε:
Άλλη μία βραδινή.
Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}, με 0<a<b. Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα σημεία A\left ( a,f(a) \right ) και B\left ( b,f(b) \right ), διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει \xi \in \left ( a,b \right ) τέτοιο ώστε το σημείο M\left ( \xi ,f(\xi ) \right ) να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα Μάριε.
Το γεωμετρικό συμπέρασμα είναι:
Η συνάρτηση έχει σημείο καμπής εκτός αν η γραφική της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Μένει να αποδειχθεί και αναλυτικά.

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 14, 2017 7:25 pm
από Σταμ. Γλάρος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
Άλλη μία βραδινή.
Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}, με 0<a<b. Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα σημεία A\left ( a,f(a) \right ) και B\left ( b,f(b) \right ), διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει \xi \in \left ( a,b \right ) τέτοιο ώστε το σημείο M\left ( \xi ,f(\xi ) \right ) να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα Μάριε.
Το γεωμετρικό συμπέρασμα είναι:
Η συνάρτηση έχει σημείο καμπής εκτός αν η γραφική της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Μένει να αποδειχθεί και αναλυτικά.
Καλησπέρα στην εκλεκτή ομήγυρη.
Η άσκηση του Μάριου καθώς και οι τοποθετήσεις των εκλεκτών φίλων μέσα από το :logo: μου ξύπνησαν μνήμες .
Μάιος του 2003, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, θέμα 4ο.
Εδώ πολλοί έδωσαν εξετάσεις και ...απέτυχαν. Και δεν εννοώ τους μαθητές!

Δίνω μια συνάρτηση η οποία πληροί τις προϋποθέσεις του θέματος .
f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2+4x-3 & &x\in [\sqrt{3},3) \\ -2x+6& &x\in[3,4] \\ x^2-10x+22 & &x\in(4,\sqrt{22}) \end{matrix}\right.

Οι εφαπτομένες της C_{f} στα σημεία A\left ( \sqrt{3},f(\sqrt{3}) \right ) και Β\left ( \sqrt{22},f(\sqrt{22}) \right ) είναι οι (\varepsilon _{1}):y= 2(2-\sqrt{3})x και (\varepsilon _{2}):y= 2(\sqrt{22}-5)x αντιστοίχως .
Προφανώς διέρχονται από την αρχή των αξόνων.
Γεωμετρικό Συμπέρασμα.png
Γεωμετρικό Συμπέρασμα.png (12.79 KiB) Προβλήθηκε 969 φορές
Έχουμε εδώ την περίπτωση κατά την οποία η συνάρτηση δεν παρουσιάζει σημείο καμπής.
Όπως πολύ σωστά επεσήμανε παραπάνω ο Σταύρος, ένα μέρος της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Στην περίπτωσή μας το \Gamma \Delta.
Ελπίζω να μην κούρασα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 14, 2017 8:02 pm
από Christos.N
Σταμ. Γλάρος έγραψε: Καλησπέρα στην εκλεκτή ομήγυρη.
Η άσκηση του Μάριου καθώς και οι τοποθετήσεις των εκλεκτών φίλων μέσα από το :logo: μου ξύπνησαν μνήμες .
Μάιος του 2003, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, θέμα 4ο.
Εδώ πολλοί έδωσαν εξετάσεις και ...απέτυχαν. Και δεν εννοώ τους μαθητές!

Δίνω μια συνάρτηση η οποία πληροί τις προϋποθέσεις του θέματος .
f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2+4x-3 & &x\in [\sqrt{3},3) \\ -2x+6& &x\in[3,4] \\ x^2-10x+22 & &x\in(4,\sqrt{22}) \end{matrix}\right.

Έχουμε εδώ την περίπτωση κατά την οποία η συνάρτηση δεν παρουσιάζει σημείο καμπής.
Όπως πολύ σωστά επεσήμανε παραπάνω ο Σταύρος, ένα μέρος της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Στην περίπτωσή μας το \Gamma \Delta.
Ελπίζω να μην κούρασα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Πληροί όμως ; είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα;

π.χ.\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = ... =  - 2 \ne 0 = .... = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}}}

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 14, 2017 11:10 pm
από Σταμ. Γλάρος
Christos.N έγραψε:
Σταμ. Γλάρος έγραψε: Καλησπέρα στην εκλεκτή ομήγυρη.
Η άσκηση του Μάριου καθώς και οι τοποθετήσεις των εκλεκτών φίλων μέσα από το :logo: μου ξύπνησαν μνήμες .
Μάιος του 2003, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, θέμα 4ο.
Εδώ πολλοί έδωσαν εξετάσεις και ...απέτυχαν. Και δεν εννοώ τους μαθητές!

Δίνω μια συνάρτηση η οποία πληροί τις προϋποθέσεις του θέματος .
f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2+4x-3 & &x\in [\sqrt{3},3) \\ -2x+6& &x\in[3,4] \\ x^2-10x+22 & &x\in(4,\sqrt{22}) \end{matrix}\right.

Έχουμε εδώ την περίπτωση κατά την οποία η συνάρτηση δεν παρουσιάζει σημείο καμπής.
Όπως πολύ σωστά επεσήμανε παραπάνω ο Σταύρος, ένα μέρος της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Στην περίπτωσή μας το \Gamma \Delta.
Ελπίζω να μην κούρασα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Πληροί όμως ; είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα;

π.χ.\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = ... =  - 2 \ne 0 = .... = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}}}
Καλησπέρα.
Χρήστο έχεις απόλυτο δίκιο. Δεν είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο 3 και στο 4.
Θα το ψάξω με άλλη συνάρτηση.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 15, 2017 9:41 pm
από M.S.Vovos
Χαίρομαι που υπήρξε συζήτηση. Ίσως να έξυσα παλιές πληγές με το πιθανό σημείο καμπής...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Καλησπέρα Μάριε.
Το γεωμετρικό συμπέρασμα είναι:
Η συνάρτηση έχει σημείο καμπής εκτός αν η γραφική της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Μένει να αποδειχθεί και αναλυτικά.
Μένει να δούμε και την απόδειξη λοιπόν. Θα έχει πολύ ενδιαφέρον.

Φιλικά.

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 16, 2017 12:19 am
από Σταμ. Γλάρος
Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Christos.N έγραψε:
Σταμ. Γλάρος έγραψε: Καλησπέρα στην εκλεκτή ομήγυρη.
Η άσκηση του Μάριου καθώς και οι τοποθετήσεις των εκλεκτών φίλων μέσα από το :logo: μου ξύπνησαν μνήμες .
Μάιος του 2003, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, θέμα 4ο.
Εδώ πολλοί έδωσαν εξετάσεις και ...απέτυχαν. Και δεν εννοώ τους μαθητές!

Δίνω μια συνάρτηση η οποία πληροί τις προϋποθέσεις του θέματος .
f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2+4x-3 & &x\in [\sqrt{3},3) \\ -2x+6& &x\in[3,4] \\ x^2-10x+22 & &x\in(4,\sqrt{22}) \end{matrix}\right.

Έχουμε εδώ την περίπτωση κατά την οποία η συνάρτηση δεν παρουσιάζει σημείο καμπής.
Όπως πολύ σωστά επεσήμανε παραπάνω ο Σταύρος, ένα μέρος της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Στην περίπτωσή μας το \Gamma \Delta.
Ελπίζω να μην κούρασα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Πληροί όμως ; είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα;

π.χ.\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = ... =  - 2 \ne 0 = .... = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}}}
Καλησπέρα.
Χρήστο έχεις απόλυτο δίκιο. Δεν είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο 3 και στο 4.
Θα το ψάξω με άλλη συνάρτηση.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Καλησπέρα.
Επανέρχομαι με νέα συνάρτηση. Είναι η συνάρτηση που πρότεινε την χρονιά 2003 το φροντιστήριο της Σάμου Alpha, για το ΄4ο θέμα της χρονιάς αυτής.
Την έχω μετατοπίσει ώστε να υπάρχουν οι εφαπτομένες.
Είναι η f(x)=\left\{\begin{matrix} (x-3)^4+2(x-3)^3-4 & &x\in[0,2) \\ 2x-9& & x\in[2,4]\\ -(x-3)^4+2(x-3)^3-2& & x\in(4,6] \end{matrix}\right.
Εύκολα αποδεικνύουμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο [0,6] με:
f'(x)=\left\{\begin{matrix} 4(x-3)^3 +6(x-3)^2 & &x\in[0,2) \\ 2& & x\in[2,4]\\ -4(x-3)^3 +6(x-3)^2 & &x\in(4,6] \end{matrix}\right.
Επίσης αποδεικνύουμε ότι και η f' είναι παραγωγίσιμη στο [0,6] με:
f''(x)=\left\{\begin{matrix} 12(x-3)^2 +12(x-3) & &x\in[0,2) \\ 0& & x\in[2,4]\\ -12(x-3)^2 +12(x-3) & &x\in(4,6] \end{matrix}\right.

Στο [0,2] είναι f'(x)=2(x-3)^2(2x-3).
Η εφαπτομένη της C_{f} στο x_{1}\in[0,\dfrac{3}{2}] είναι y-f(x_{1})=f'(x_{1})(x-x_{1}).
Για να διέρχεται η παραπάνω ευθεία από την αρχή των αξόνων πρέπει να ισχύει f(x_{1})=x_{1}f'(x_{1}).
Θεωρώ την συνάρτηση g(x)=f(x)-xf'(x). Από θεώρημα Bolzano στην g στο [0,\dfrac{3}{2}] συμπεραίνουμε ότι
υπάρχει x_{1}\in(0,\dfrac{3}{2}) ώστε g(x_{1})=0.
Άρα στο σημείο A(x_{1}, f(x_{1})) η εφαπτομένη της C_{f} διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Ομοίως από θεώρημα Bolzano στην g στο [\dfrac{9}{2},5] συμπεραίνουμε ότι υπάρχει x_{2}\in(\dfrac{9}{2}, 5) ώστε g(x_{2})=0.
Συνεπώς και στο σημείο B(x_{2}, f(x_{2})) η εφαπτομένη της C_{f} διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Το σχήμα είναι παρόπμοιο με το προηγούμενο που έδωσα.
Επομένως, περιορίζοντας την συνάρτηση στο [x_{1}, x_{2}] , νομίζω ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις της άσκησης.
Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 16, 2017 8:04 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
Άλλη μία βραδινή.
Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}, με 0<a<b. Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα σημεία A\left ( a,f(a) \right ) και B\left ( b,f(b) \right ), διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει \xi \in \left ( a,b \right ) τέτοιο ώστε το σημείο M\left ( \xi ,f(\xi ) \right ) να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα Μάριε.
Το γεωμετρικό συμπέρασμα είναι:
Η συνάρτηση έχει σημείο καμπής εκτός αν η γραφική της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Μένει να αποδειχθεί και αναλυτικά.

Δυστυχώς αλλά λέει η Ανάλυση
Υπάρχει συνάρτηση με τα παραπάνω χαρακτηριστικά που δεν έχει σημείο καμπής.
Η κατασκευή της βασίζετε στην κατασκευή που έχω προτείνει στο
viewtopic.php?f=9&t=57535

Βάση αυτού,μετατοπίζοντας την συνάρτηση που υπάρχει εκεί, μπορούμε να βρούμε

f:[2,3]\rightarrow \mathbb{R} συνεχής με f(2)=f(3)=0

και δεν αλλάζει πρόσημο στις ρίζες της που είναι άπειρες(δες την παραπομπή)

Η συνάρτηση είναι r:[1,4]\rightarrow \mathbb{R} με

r(x)=-\frac{x^{3}}{6}+x^{2}+\frac{2}{3},x\in [1,2]

r(x)=\frac{10}{3}+2(x-2)+\int_{2}^{x}\int_{2}^{t}f(s)dsdt,x\in (2,3)

r(x)=\frac{10}{3}+2+A+(B+2)(x-3)+k(x-3)^{4},x\in [3,4]

όπου A=\int_{2}^{3}\int_{2}^{t}f(s)dsdt,B=\int_{2}^{3}f(t)dt

και k=\dfrac{-4+\frac{10}{3}+A-3B}{15}