Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3991
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Φεβ 11, 2017 3:24 pm

Για τις συνεχείς στο R συναρτήσεις f,g ισχύουν τα εξής :

\bullet η f είναι κυρτή και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\ell

\bullet\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=m<\ell και η {{C}_{g}} έχει ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία y=kx+n,k,n\in R με k>0

Να δειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
kostas232
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 5:28 pm
Τοποθεσία: Κορινθία

Re: Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas232 » Σάβ Φεβ 11, 2017 7:32 pm

Μια ερώτηση.

Μήπως πρέπει να προστεθεί κάποια παραγωγισιμότητα;
:?:


Carpe Diem
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3991
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Φεβ 11, 2017 8:33 pm

kostas232 έγραψε:Μια ερώτηση.

Μήπως πρέπει να προστεθεί κάποια παραγωγισιμότητα;
:?:
Κώστα καλησπέρα.

Η παραγωγισιμότητα της f που πράγματι χρειάζεται υπονοείται από την κυρτότητά της (βάσει ορισμού του σχολικού βιβλίου). Η παραγωγισιμότητα της g δεν νομίζω ότι είναι απαραίτητη. Πιθανόν να κάνω και λάθος. Γράψε όμως το σκεπτικό σου (έστω αποδεχόμενος και την παραγωγισιμότης και των δύο συναρτήσεων) να δούμε την αναγκαιότητά τους (και των δύο εννοώ αφού είπαμε για την πρώτη χρειάζεται) και να δούμε πως μπορούμε να την "προσπεράσουμε"

Φιλικότατα
Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
kostas232
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 5:28 pm
Τοποθεσία: Κορινθία

Re: Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas232 » Σάβ Φεβ 11, 2017 8:37 pm

Έχω μερικές σκέψεις...
Θα τις αναρτήσω σύντομα.


Carpe Diem
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Φεβ 11, 2017 8:47 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Για τις συνεχείς στο R συναρτήσεις f,g ισχύουν τα εξής :

\bullet η f είναι κυρτή και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\ell

\bullet\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=m<\ell και η {{C}_{g}} έχει ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία y=kx+n,k,n\in R με k>0

Να δειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο


Στάθης
...Καλησπέρα σου Σταθη, και σε όλη την παρέα...

Αν υποθέσουμε ότι f\left( x \right)\ne g(x) για κάθε x\in R τότε η h(x)=f\left( x \right)-g(x)\ne 0

και επειδή θα είναι συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο δηλαδή h(x)>0 ή h(x)<0

Αν h(x)>0 τότε από \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f\left( x \right)-g(x))=-\infty

αφού \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f\left( x \right))=\ell και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(g\left( x \right))=+\infty

αφού έχει ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία y=kx+n,k,n\in R με k>0 προκύπτει άτοπο.

Αν h(x)<0 τότε όπως δείξαμε εδώ viewtopic.php?f=53&t=57279

η f είναι γνήσια φθίνουσα άρα f(R)=\left( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x) \right)=(\ell ,\,\,L)

με L\in R\cup (-\infty ,\,\,+\infty ) και από \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(f\left( x \right)-g(x))=L-m>0

αφού L>\ell >m που είναι πάλι άτοπο. Άρα υπάρχει {{x}_{0}}\in R ώστε h({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)=g({{x}_{0}})

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3991
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Φεβ 11, 2017 9:07 pm

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Για τις συνεχείς στο R συναρτήσεις f,g ισχύουν τα εξής :

\bullet η f είναι κυρτή και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\ell

\bullet\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=m<\ell και η {{C}_{g}} έχει ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία y=kx+n,k,n\in R με k>0

Να δειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο


Στάθης
...Καλησπέρα σου Σταθη, και σε όλη την παρέα...

Αν υποθέσουμε ότι f\left( x \right)\ne g(x) για κάθε x\in R τότε η h(x)=f\left( x \right)-g(x)\ne 0

και επειδή θα είναι συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο δηλαδή h(x)>0 ή h(x)<0

Αν h(x)>0 τότε από \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f\left( x \right)-g(x))=-\infty

αφού \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f\left( x \right))=\ell και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(g\left( x \right))=+\infty

αφού έχει ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία y=kx+n,k,n\in R με k>0 προκύπτει άτοπο.

Αν h(x)<0 τότε όπως δείξαμε εδώ viewtopic.php?f=53&t=57279

η f είναι γνήσια φθίνουσα άρα f(R)=\left( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x) \right)=(\ell ,\,\,L)

με L\in R\cup (-\infty ,\,\,+\infty ) και από \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(f\left( x \right)-g(x))=L-m>0

αφού L>\ell >m που είναι πάλι άτοπο. Άρα υπάρχει {{x}_{0}}\in R ώστε h({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)=g({{x}_{0}})

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
:coolspeak:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης