Σελίδα 1 από 1

Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 10, 2017 1:54 am
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Έστω f μια πραγματική παραγωγίσιμη συνάρτηση σε διάστημα D\subseteq R με {f}'\left( x \right)\ne 0,\forall x\in D . Να δειχθεί (με σχολικά εργαλεία) ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο D

Στάθης

Re: Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 10, 2017 2:34 am
από KAKABASBASILEIOS
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω f μια πραγματική παραγωγίσιμη συνάρτηση σε διάστημα D\subseteq R με {f}'\left( x \right)\ne 0,\forall x\in D . Να δειχθεί (με σχολικά εργαλεία) ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο D

Στάθης
...Για Καληνύχτα....

Για {{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in Dαν f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}}) ισχύει {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} τότε σύμφωνα με το Rolle στο διάστημα που ορίζουν τα

{{x}_{1}},\,{{x}_{2}} θα υπάρχει {{x}_{3}} που {f}'({{x}_{3}})=0 που είναι άτοπο λογω υπόθεσης άρα για κάθε

{{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in Dαν f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}}) τότε {{x}_{1}}={{x}_{2}} επομένως η f είναι '1-1' στο D.

Έτσι για \alpha <\beta <\gamma με \alpha ,\beta ,\gamma \in D λόγω του '1-1' θα είναι f(\alpha )\ne f(\beta )\ne f(\gamma )\ne f(\alpha )

και θα ισχύει f(\alpha )<f(\beta )<f(\gamma ) ή f(\alpha )>f(\beta )>f(\gamma ) γιατί σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση διάταξης των τιμών ,

για παράδειγμα f(\gamma )<f(\alpha )<f(\beta ) σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. υπάρχει {{x}_{0}}\in (\beta ,\,\,\gamma ) ώστε

f({{x}_{0}})=f(\alpha ) και σύμφωνα με το Rolle θα υπάρχει \xi \in (\alpha ,\,{{x}_{0}})με {f}'(\xi )=0που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης.

Επομένως η η f είναι γνησίως μονότονη στο D

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Re: Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 03, 2017 12:05 am
από polysot
Να συμπληρώσω κι εγώ:
Μπορούμε να δείξουμε ότι η f' διατηρεί πρόσημο στο D ;

Re: Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 03, 2017 1:31 am
από R BORIS
Απο παλια στο συννημένο