mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 31, 2017 2:19 am**

Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , ισχύει:
$\displaystyle{f^{2}(x)\left ( \left ( f'(x) \right )^{2}+\left ( f''(x) \right )^{2} \right )+\left ( f'(x) \right )^{2}\left ( 2f(x)f''(x)+\left ( f'(x) \right )^{2} \right )\leqslant 0}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι σταθερή.

Φιλικά,
Μάριος

*Άλλαξε φάκελο (πιο κατάλληλος) και προστέθηκε ένας ξεχασμένος όρος.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 31, 2017 12:21 pm**

Παρατηρούμε ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει $f(x) f''(x) = 0 \implies f'(x) = 0$ . Επίσης, $f(x) f''(x) \leqslant 0$ για να ικανοποιείται η αρχική συνθήκη.

Έστω x_0