ΑΣΚΗΣΗ

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Wizard98
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Παρ Ιαν 20, 2017 3:31 pm

ΑΣΚΗΣΗ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Wizard98 » Κυρ Ιαν 29, 2017 4:28 pm

Έστω η συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (-2, ∞) με f(0)=-2f'(0)=1 για την οποία ισχύει: f"(x) + f(x)*f'(x)=0 για κάθε x>-2. Αν η f δεν έχει ρίζα να βρεθέι ο τύπος της.
Έχω καταλήξει ότι f(x)= \frac{2}{x+2}. Είναι σωστό; Ευχαριστώ.
τελευταία επεξεργασία από Wizard98 σε Κυρ Ιαν 29, 2017 4:43 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: ΑΣΚΗΣΗ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Ιαν 29, 2017 4:39 pm

Πρέπει να γράφεις στο forum με κώδικα \LaTeX.

Τώρα στην ερώτηση σου, πες ότι θέλεις να δεις αν επαληθεύει αυτή η συνάρτηση την ανωτέρω διαφορική εξίσωση. Πριν ζητήσεις βοήθεια από το forum, έλεγξε αν αυτή επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες. Αν επαληθεύει τότε το να σου πούμε ότι αυτή είναι δεν έχει κανένα νόημα, μιας και η πορεία της λύσης σου μπορεί να περιέχει λάθη.

Οπότε:

1) Μην ανεβάζεις κατευθείαν την απορία σου αν δεν την έχεις σκεφτεί αρκετά.

2) Γράψε την λύση σου, για να σε βοηθήσουμε.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Wizard98
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Παρ Ιαν 20, 2017 3:31 pm

Re: ΑΣΚΗΣΗ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Wizard98 » Κυρ Ιαν 29, 2017 4:55 pm

f\prime\prime(x) + f(x)*f\prime(x) \Leftrightarrow

2f\prime\prime(x) + 2f(x)*f\prime(x)=0 \Leftrightarrow

2f(x)*f\prime(x)=-2f\prime\prime(x) \Leftrightarrow

(f^2(x))\prime=(-2f\prime(x))\prime \Leftrightarrow

f^2(x)=-2f\prime(x) + c1

Για x=0 έχουμε:
c1=0

Άρα:
f^2(x) = -2f\prime(x)

Αφού η f δεν έχει ρίζα και f(0)=1 \Rightarrow f(x)>0 \forall x>-2

Άρα:
\frac{f^2(x)}{f^2(x)}=\frac{-2f\prime(x)}{f^2(x)} \Leftrightarrow

-\frac{f\prime(x)}{f^2(x)}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow

(\frac{1}{f(x)})\prime=(\frac{x}{2})\prime

Άρα:
\frac{1}{f(x)}=\frac{x}{2} + c2

Για x=0 έχουμε:
c2=1

Άρα:
\frac{1}{f(x)}=\frac{x+2}{2} \Leftrightarrow

f(x)=\frac{2}{x+2}

Είναι εντάξει; Ευχαριστώ.


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: ΑΣΚΗΣΗ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Ιαν 29, 2017 5:49 pm

Με μια γρήγορη ματιά η λύση σου είναι σωστή.

Φιλικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης