Σελίδα 1 από 1

Γνησίως φθίνουσα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 25, 2017 10:49 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Έστω f\left( a,+\infty  \right)\to R μια κυρτή συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής με οριζόντια ασύμπτωτη στο +\infty. Να δειχθεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα

Στάθης

Re: Γνησίως φθίνουσα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 26, 2017 12:41 am
από KAKABASBASILEIOS
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω f\left( a,+\infty  \right)\to R μια κυρτή συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής με οριζόντια ασύμπτωτη στο +\infty. Να δειχθεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα

Στάθης
...συνεχίζοντας με όνειρα γεωμετρικά.....

Έστω ότι υπάρχουν {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( a,+\infty  \right) με {{x}_{1}}<{{x}_{2}} ώστε να ισχύει ότι f({{x}_{1}})\le f({{x}_{2}})

Αν είναι f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}}) σύμφωνα με το Rolle στο [{{x}_{1}},\,{{x}_{2}}] υπάρχει {{x}_{0}}\in ({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}) που


{f}'({{x}_{0}})=0 και επειδή η f κυρτή θα είναι {f}' γνήσια αύξουσα άρα για x>{{x}_{0}}\Rightarrow {f}'(x)>{f}'({{x}_{0}})=0 οπότε αν η

y={f}'({{x}_{2}})(x-{{x}_{2}})+f({{x}_{2}}) είναι η εφαπτομένη στο \Beta ({{x}_{2}},\,\,f({{x}_{2}})) λόγω κυρτότητας θα ισχύει ότι

f(x)>{f}'({{x}_{2}})(x-{{x}_{2}})+f({{x}_{2}})και αφού \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({f}'({{x}_{2}})(x-{{x}_{2}})+f({{x}_{2}}))=+\infty

(λόγω {f}'({{x}_{2}})>0) λόγω της ανισότητας θα είναι και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty

που είναι άτοπο, αφού η f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο +\infty.

Αν τώρα f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}}) σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει {{x}_{0}}\in ({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}) ώστε

{f}'({{x}_{0}})=\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0 τότε για την εφαπτομένη στο M({{x}_{0}},\,\,f({{x}_{0}}))

θα ισχύει πάλι λόγω κυρτότητας f(x)\ge {f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+f({{x}_{0}}) και τότε θα είναι και

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty που είναι άτοπο.

Άρα για κάθε {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( a,+\infty  \right) με {{x}_{1}}<{{x}_{2}} ώστε να ισχύει ότι

f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}}) που σημαίνει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Re: Γνησίως φθίνουσα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 26, 2017 12:26 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Λίγο διαφορετικά από τον Βασίλη.
Αν υπάρχει b με f'(b)> 0 ο Βασίλης έδειξε ότι \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty
και έχουμε ΑΤΟΠΟ.
Αρα f'(x)\leq 0 για x\in (a,\infty ).
Αν f'(c)=0 τότε επειδή η f' γνησίως αύξουσα θα είχαμε
x> c\Rightarrow f'(x)>f'(c)=0 πάλι ΑΤΟΠΟ.
Αρα x> a\Rightarrow f'(x)< 0
που δείχνει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.

Με την ευκαιρία να σημειώσω ότι η κυρτότητα είναι γεωμετρική έννοια.
Συγκεκριμένα μπορεί να δοθεί ο εξής ορισμός.
Η f:(a,\infty )\rightarrow \mathbb{R} είναι κυρτή αν και μόνο αν
το σύνολο \left \{ (x,y):x\in (a,\infty ),y\geq f(x) \right \} είναι κυρτό στο επίπεδο.
(δεν έχει σχέση με τον σχολικό ορισμό γιατί εκεί ορίζετε γνήσια κυρτή που επιπλέον είναι και παραγωγίσιμη)
Με αυτό τον ορισμό μπορεί να αποδειχθεί η άσκηση που έβαλε ο άριστος γεωμέτρης Στάθης με καθαρά γεωμετρικά
επιχειρήματα.Απλά θα πρέπει να αντικατασταθεί το γνησίως φθίνουσα με το φθίνουσα.
Συμπλήρωμα.
Εβαλα την τελευταία πρόταση γιατί από αβλεψία μου είχα λάθος.