Γνησίως φθίνουσα

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4036
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Γνησίως φθίνουσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Ιαν 25, 2017 10:49 pm

Έστω f\left( a,+\infty  \right)\to R μια κυρτή συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής με οριζόντια ασύμπτωτη στο +\infty. Να δειχθεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1545
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Γνησίως φθίνουσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Ιαν 26, 2017 12:41 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω f\left( a,+\infty  \right)\to R μια κυρτή συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής με οριζόντια ασύμπτωτη στο +\infty. Να δειχθεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα

Στάθης
...συνεχίζοντας με όνειρα γεωμετρικά.....

Έστω ότι υπάρχουν {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( a,+\infty  \right) με {{x}_{1}}<{{x}_{2}} ώστε να ισχύει ότι f({{x}_{1}})\le f({{x}_{2}})

Αν είναι f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}}) σύμφωνα με το Rolle στο [{{x}_{1}},\,{{x}_{2}}] υπάρχει {{x}_{0}}\in ({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}) που


{f}'({{x}_{0}})=0 και επειδή η f κυρτή θα είναι {f}' γνήσια αύξουσα άρα για x>{{x}_{0}}\Rightarrow {f}'(x)>{f}'({{x}_{0}})=0 οπότε αν η

y={f}'({{x}_{2}})(x-{{x}_{2}})+f({{x}_{2}}) είναι η εφαπτομένη στο \Beta ({{x}_{2}},\,\,f({{x}_{2}})) λόγω κυρτότητας θα ισχύει ότι

f(x)>{f}'({{x}_{2}})(x-{{x}_{2}})+f({{x}_{2}})και αφού \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({f}'({{x}_{2}})(x-{{x}_{2}})+f({{x}_{2}}))=+\infty

(λόγω {f}'({{x}_{2}})>0) λόγω της ανισότητας θα είναι και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty

που είναι άτοπο, αφού η f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο +\infty.

Αν τώρα f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}}) σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει {{x}_{0}}\in ({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}) ώστε

{f}'({{x}_{0}})=\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0 τότε για την εφαπτομένη στο M({{x}_{0}},\,\,f({{x}_{0}}))

θα ισχύει πάλι λόγω κυρτότητας f(x)\ge {f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+f({{x}_{0}}) και τότε θα είναι και

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty που είναι άτοπο.

Άρα για κάθε {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( a,+\infty  \right) με {{x}_{1}}<{{x}_{2}} ώστε να ισχύει ότι

f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}}) που σημαίνει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3231
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Γνησίως φθίνουσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιαν 26, 2017 12:26 pm

Λίγο διαφορετικά από τον Βασίλη.
Αν υπάρχει b με f'(b)> 0 ο Βασίλης έδειξε ότι \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty
και έχουμε ΑΤΟΠΟ.
Αρα f'(x)\leq 0 για x\in (a,\infty ).
Αν f'(c)=0 τότε επειδή η f' γνησίως αύξουσα θα είχαμε
x> c\Rightarrow f'(x)>f'(c)=0 πάλι ΑΤΟΠΟ.
Αρα x> a\Rightarrow f'(x)< 0
που δείχνει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.

Με την ευκαιρία να σημειώσω ότι η κυρτότητα είναι γεωμετρική έννοια.
Συγκεκριμένα μπορεί να δοθεί ο εξής ορισμός.
Η f:(a,\infty )\rightarrow \mathbb{R} είναι κυρτή αν και μόνο αν
το σύνολο \left \{ (x,y):x\in (a,\infty ),y\geq f(x) \right \} είναι κυρτό στο επίπεδο.
(δεν έχει σχέση με τον σχολικό ορισμό γιατί εκεί ορίζετε γνήσια κυρτή που επιπλέον είναι και παραγωγίσιμη)
Με αυτό τον ορισμό μπορεί να αποδειχθεί η άσκηση που έβαλε ο άριστος γεωμέτρης Στάθης με καθαρά γεωμετρικά
επιχειρήματα.Απλά θα πρέπει να αντικατασταθεί το γνησίως φθίνουσα με το φθίνουσα.
Συμπλήρωμα.
Εβαλα την τελευταία πρόταση γιατί από αβλεψία μου είχα λάθος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Μάρκος Βασίλης και 1 επισκέπτης