Άσκηση

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Wizard98
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Παρ Ιαν 20, 2017 3:31 pm

Άσκηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Wizard98 » Παρ Ιαν 20, 2017 3:45 pm

Αν η συνάρτηση f ορισμένη στο \mathbb{R} ικανοποιέι τις συνθήκες:
i) \displaystyle{f(0)\ne 0}
ii) \displaystyle{f(a+b) = f(a)f(b) - \sin a\sin b}
iii) \displaystyle{f'(0) = 0}
Ζητούνται:
α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}
Β) Να βρεθεί ο τύπος της f
τελευταία επεξεργασία από matha σε Παρ Ιαν 20, 2017 5:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση LaTeX.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9231
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άσκηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 20, 2017 6:09 pm

Wizard98 έγραψε:Αν η συνάρτηση f ορισμένη στο \mathbb{R} ικανοποιέι τις συνθήκες:
i) \displaystyle{f(0)\ne 0}
ii) \displaystyle{f(a+b) = f(a)f(b) - \sin a\sin b}
iii) \displaystyle{f'(0) = 0}
Ζητούνται:
α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}
Β) Να βρεθεί ο τύπος της f
Για a=b=0 έχουμε \displaystyle{f(0) = {f^2}(0)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{f(0) \ne 0} } \boxed{f(0)=1}

α) \displaystyle{f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{f(x)f(h) - f(x)}}{h} - \frac{{\sin x\sinh }}{h}} \right) = f'(0)f(x) - \sin x =  - \sin x}, άρα η f είναι παραγωγίσιμη

β) \displaystyle{f'(x) = {\left( {\cos x} \right)^\prime } \Leftrightarrow f(x) = \cos x + c\mathop  \Leftrightarrow \limits^{f(0) = 1} } \boxed{f(x)=cosx}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης