ΚΟΙΝΗ ... ΑΦΕΤΗΡΙΑ ΣΚΕΨΗΣ

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
spyros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 91
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:15 am

ΚΟΙΝΗ ... ΑΦΕΤΗΡΙΑ ΣΚΕΨΗΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spyros » Δευ Φεβ 22, 2010 9:51 pm

Χαιρετίζω τους εκλεκτούς του mathematica. Η δουλειά που κάνετε εδώ μέσα είναι καταπληκτική! Ένα βιβλίο μαθηματικών που θα μου άρεσε πάρα πολύ αν είχε κυκλοφορήσει και θα πρόσφερε πολλά και για προσωπικό προβληματισμό και ψάξιμο σε μαθητές και άλλους θα μπορούσε να είχε την εξής διάταξη ασκήσεων.
Αρχίζουμε με αφετηρία την εξής άσκηση.

ΑΦΕΤΗΡΙΑ (Άσκηση 1η)

Αν x \in \left( {\alpha ,\beta } \right) \Leftrightarrow \left| {x - \frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right| < \frac{{\beta  - \alpha }}{2},{\rm{   }}\alpha  < \beta
Εύκολη απόδειξη από ιδιότητες απολύτου ή λίγο διαφορετικά \alpha  < x < \betaθα εξετάσουμε αν υπάρχουν αριθμοί \kappa  \in R και \theta  > 0 ώστε η σχέση \alpha  < x < \beta να γράφεται στην μορφή \left| {x + \kappa } \right| < \theta. Είναι \alpha  + \kappa  < x + \kappa  < \beta  + \kappa και απαιτείται \alpha  + \kappa  + \beta  + \kappa  = 0 ή 2\kappa  + \alpha  + \beta  = 0 ή \kappa  =  - \frac{{\alpha  + \beta }}{2} ,δηλαδή έχουμε \left| {x - \frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right| < \beta  - \frac{{\alpha  + \beta }}{2} = \frac{{2\beta  - \alpha  + \beta }}{2} = \frac{{\beta  - \alpha }}{2} (Ντρίζος Ευκλ Β τ.17 1995) και (Κόντζιας Ευκ Β τ.41 2001)
ΑΣΚΗΣΗ 2η (Α Λυκείου)

Αν x = \frac{{\psi  - 4\left| \psi  \right| - 12}}{{3 + \left| \psi  \right|}} τότε αποδείξτε ότι για κάθε \psi  \in R ισχύει - 5 < x <  - 3 (Ντρίζος Ευκλ.Β τ.17 1995)
Σύμφωνα με το σκεπτικό της αφετηρίας αρκεί να δείξουμε ότι \left| {x + 4} \right| < 1 κ.τ.λ
Άσκηση 3η...και καλύτερη (Γ Λυκείου)

Έστω συνάρτηση f:\left[ {0,4} \right] \to R συνεχής με f\left( 0 \right) \cdot f\left( 4 \right) < 0. Να δείξετε ότι υπάρχει \xi  \in \left( {0,2} \right):{\rm{ }} - 1 \le f\left( {{\xi ^2}} \right) + f\left( {2\xi } \right) < 0
Από \xi  \in \left( {0,2} \right) έχουμε 0 \le \left| {\xi  - 1} \right| < 1 από την σκέψη της αφετηρίας υψώνουμε στο τετράγωνο και αναπτύσσουμε την ταυτότητα. Στο τέλος δημιουργούμε βοηθητική συνάρτηση στην οποία εφαρμόζουμε το θ. Bolzano σε κατάλληλο διάστημα.
...και κάποιες συμπληρωματικές σκέψεις.
Οι αγαπητοί και πραγματικά πολύ εξαιρετικοί μαθηματικοί της παρέας μας θα μπορούσαν να εμπλουτίσουν και με άλλα ερωτήματα το προηγούμενο θέμα που να χρησιμοποιούν την βασική σκέψη της αφετηρίας στην λύση τους, όπως και να ξεκινήσουν και άλλα θέματα με το ίδιο σκεπτικό αν τους φανεί ενδιαφέρουσα μια τέτοια σκέψη. :coolspeak:


\displaystyle{\bf\sqrt{\Sigma \pi \upsilon \rho o \varsigma}^{2}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης