ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

paylos
Δημοσιεύσεις: 141
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 8:33 pm
Τοποθεσία: ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ

ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από paylos » Σάβ Ιαν 14, 2017 11:18 pm

Δίνεται συνάρτηση f:\left[ {0,{\rm{ 4}}} \right] \to R η οποία είναι συνεχής στο διάστημα \left[ {0,{\rm{ 4}}} \right] και παραγωγίσιμη στο\left( {0,{\rm{ 4}}} \right).

Αν η f είναι κυρτή στο \left[ {0,{\rm{ 2}}} \right] και κοίλη στο \left[ {2,{\rm{ 4}}} \right] να αποδείξετε ότι f\left( 4 \right) - f\left( 0 \right) < 2\left[ {f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right)} \right].

Την άσκηση την έχω δει σε κάποιο βιβλίο αλλά δεν έχω σκεφτεί μια πλήρη λύση.


ΠΑΥΛΟΣ

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1545
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Ιαν 14, 2017 11:51 pm

paylos έγραψε:Δίνεται συνάρτηση f:\left[ {0,{\rm{ 4}}} \right] \to R η οποία είναι συνεχής στο διάστημα \left[ {0,{\rm{ 4}}} \right] και παραγωγίσιμη στο\left( {0,{\rm{ 4}}} \right).

Αν η f είναι κυρτή στο \left[ {0,{\rm{ 2}}} \right] και κοίλη στο \left[ {2,{\rm{ 4}}} \right] να αποδείξετε ότι f\left( 4 \right) - f\left( 0 \right) < 2\left[ {f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right)} \right].

Την άσκηση την έχω δει σε κάποιο βιβλίο αλλά δεν έχω σκεφτεί μια πλήρη λύση.
...μιά αντιμετώπιση...

Στα \left[ 0,1 \right] και \left[ 1,\text{2} \right] σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχουν {{x}_{1}}\in (0,\,1),\,\,{{x}_{2}}\in (1,\,2) ώστε

{f}'({{x}_{1}})=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=f(1)-f(0) και {f}'({{x}_{2}})=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=f(2)-f(1) και επειδή {f}' γνήσια αύξουσα ισχύει ότι

{f}'({{x}_{1}})<{f}'({{x}_{2}})\Leftrightarrow f(1)-f(0)<f(2)-f(1)\Leftrightarrow 2f(1)-f(0)<f(2)(1)

Επίσης Στα \left[ 2,3 \right] και \left[ 3,4 \right] σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχουν {{x}_{3}}\in (2,\,3),\,\,{{x}_{4}}\in (3,\,4) ώστε

{f}'({{x}_{3}})=\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=f(3)-f(2) και {f}'({{x}_{4}})=\frac{f(4)-f(3)}{4-3}=f(4)-f(3) και επειδή {f}' γνήσια φθίνουσα ισχύει ότι

{f}'({{x}_{3}})>{f}'({{x}_{4}})\Leftrightarrow f(3)-f(2)>f(4)-f(3)\Leftrightarrow 2f(3)-f(4)>f(2)(2)

Και από (1),(2) έχουμε ότι 2f(1)-f(0)<f(2)<2f(3)-f(4)\Leftrightarrow f(4)-f(0)<2(f(3)-f(1))

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4387
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιαν 14, 2017 11:53 pm

Βασίλη με πρόλαβες . Έγραφα μετά απο σενα ακριβώς τα ίδια .


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4387
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιαν 15, 2017 7:13 am

Βασίλη,

μήπως να συμπεριλάβουμε και την ισότητα στο τελικό αποτέλεσμα; Η συνάρτηση μπορεί να είναι κυρτή στο [0, 2] αλλά αυτό δε σημαίνει πως δε μπορεί να είναι f'(\xi_1) \leq f'(\xi_2). Και όμοια f'(\xi_3) \geq f'(\xi_4) στο [2, 4]. Τι λες;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
paylos
Δημοσιεύσεις: 141
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 8:33 pm
Τοποθεσία: ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από paylos » Κυρ Ιαν 15, 2017 4:51 pm

Κώστα ευχαριστώ για τη λύση.


ΠΑΥΛΟΣ
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3225
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 16, 2017 9:28 am

Tolaso J Kos έγραψε:Βασίλη,

μήπως να συμπεριλάβουμε και την ισότητα στο τελικό αποτέλεσμα; Η συνάρτηση μπορεί να είναι κυρτή στο [0, 2] αλλά αυτό δε σημαίνει πως δε μπορεί να είναι f'(\xi_1) \leq f'(\xi_2). Και όμοια f'(\xi_3) \geq f'(\xi_4) στο [2, 4]. Τι λες;
Τόλη όχι.
Στο σχολικό ορίζει σαν κυρτή την συνάρτηση με γνησίως αύξουσα παράγωγο.
Δηλαδή αντιστοιχεί στο γνήσια κυρτή με παράγωγο.
Με αυτά τα δεδομένα η ανισότητα στην άσκηση είναι γνήσια.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες