Εύκολη...

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 907
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Εύκολη...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Νοέμ 06, 2016 10:24 am

Θεωρούμε τη συνάρτηση f ορισμένη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αν η f ειναι αυστηρά κυρτή, τότε να δείξετε ότι δεν μπορεί να ισχύει f'(0)+2f(1)=f'(1)+f(2)+f(0).

Ευχαριστώ κ. Δημήτρη.
τελευταία επεξεργασία από M.S.Vovos σε Κυρ Νοέμ 06, 2016 1:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Εύκολη...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Νοέμ 06, 2016 11:01 am

Μάλλον πρέπει να γραφεί "αυστηρά κυρτή".


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 256
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Εύκολη...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Κυρ Νοέμ 06, 2016 2:47 pm

διορθωμένο


Στο διάστημα (0,2) θεωρούμε σημεία x_{1},x_{2} τέτοια ώστε : o<x_{1}<1<x_{2}<2

Εφόσον η f(x) κυρτή \Rightarrow f''(x)>0,  x\in (0,2) άρα f'(x)\uparrow και \\ f'(0)<f'(x_1)<f'(1)<f'(1)<f'(x_2)<f'(2)

΅Εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ, στη δοθείσα σχέση

f'(0)+2f(1)=f'(1)+f(2)+f(0)\\\Leftrightarrow (f(1)-f(0))=(f'(1)-f'(0))+(f(2)-f(1))\\\\ \Leftrightarrow \frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{f'(1)-f'(0)}{1-0}+\frac{f(2)-f(1)}{2-1}\\\\\Leftrightarrow f'(x_{1})=\frac{f'(1)-f'(0)}{1-0}+f'(x_{2})\\\\\Leftrightarrow f'(x_{1})-f'(x_{2})=\frac{f'(1)-f'(0)}{1-0}


Άτοιπο , καθώς η f'(x) \uparrow \Leftrightarrow f'(x_1)<f'(x_2) \Leftrightarrow f'(x_1)-f'(x_2)<0 ενώ f''(x)>0
τελευταία επεξεργασία από Ratio σε Κυρ Νοέμ 06, 2016 5:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4492
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Εύκολη...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Νοέμ 06, 2016 5:09 pm

Εφόσον η f ειναι γνήσια κυρτή αυτο σημαίνει ότι f''(x) > 0 και κατα συνέπεια f' γνήσια αύξουσα .


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 256
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Εύκολη...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Κυρ Νοέμ 06, 2016 5:31 pm

Το σβηνω, διάβασα κυρτή και έλυνα με την f(x) κοίλη .. :wallbash:


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 907
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Εύκολη...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Νοέμ 06, 2016 6:37 pm

...Λίγο διαφορετικά...

Η δοσμένη σχέση γράφεται ως f'(0)+f(1)-f(0)=f'(1)+f(2)-f(1).

Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f'(x)+f(x+1)-f(x), x\in \mathbb{R}. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγισίμων συναρτήσεων, με παράγωγο:

g'(x)=f''(x)+f'(x+1)-f'(x)

Όμως, x+1>x και επειδή η f είναι κυρτή η f' θα είναι γνησίως αύξουσα, άρα f'(x+1)-f'(x)>0.

Σε συνδυασμό με το ότι f''(x)>0. Δείχνουμε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1.

Η σχέση όμως τότε θα ήταν g(0)=g(1) και άρα 0=1, άτοπο.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Εύκολη...

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Νοέμ 06, 2016 7:26 pm

Μια παρατήρηση: Δεν γνωρίζουμε τίποτα για την παραγωγισιμότητα της f και ούτε χρειάζεται.

Λόγω αυστηρής κυρτότητας, 2f(1) < f(0) + f(2). Επίσης, αν η f είναι παραγωγίσιμη στα 0, 1, τότε (πάλι λόγω αυστηρής κυρτότητας) f'(0) < f'(1). Αν δεν είναι παραγωγίσιμη, το ζητούμενο αποδεικνύεται αυτόματα (αφού πρόκειται για τη μη ισχύ μιας πρότασης).

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες και έχουμε το αποτέλεσμά μας που αποκλείει την ισότητα.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4492
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Εύκολη...

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Νοέμ 07, 2016 9:36 am

dement έγραψε:Μια παρατήρηση: Δεν γνωρίζουμε τίποτα για την παραγωγισιμότητα της f και ούτε χρειάζεται.
Δημήτρη,

πολύ ωραία λύση αυτή που δωσες. Επέτρεψέ μου να σχολιάσω αυτό που απομόνωσα. Στο Λύκειο ο ορισμός της κυρτότητας δίδεται με τη μονοτονία της παραγώγου. Συγκεκριμένα το σχολικό βιβλίο δίδει μία συνάρτηση ως κυρτή αν η παράγωγος αυτής είναι γνήσια αύξουσα. Συνεπώς δε προϋποθέτει η f να είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Όμως στη συνέχεια δίδει ένα θεώρημα ότι αν η f δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \Delta και f''(x)>0 για κάθε x \in \Delta τότε η f είναι κυρτή. Διατυπώνει και ανάλογα συμπεράσματα για το κοίλη.

\begin{tikzpicture} 
\draw (very thick, black) (-5, 0) -- (25, 0); 
\end{tikzpicture}

Συνεπώς, κατ' εμέ η λύση του Μάριου είναι κατά "κάποιον τρόπο" λάθος αφού από την εκφωνήση δεν έχουμε το δύο φορές παραγωγίσιμη και δεν υποννοείται κάτι τέτοιο από το κυρτή. Αυτό που βγαίνει από το αυστηρά κυρτή είναι ότι f' γνήσια αύξουσα. Επίσης, κατά την άποψή μου, θα έπρεπε το παραγωγίσιμη να υπάρχει στην εκφώνηση και να μην εννοείται.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης