Σελίδα 1 από 1

ΑΠΟΣΤΑΣΗ-ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ-ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 19, 2016 1:47 am
από KAKABASBASILEIOS
...Καλησπέρα :logo: με μιά αποψινή δημιουργία...

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=\ln x,\,\,x>0 και g(x)={{x}^{2}},\,\,x\in R.

Α. Να βρεθεί το σημείο B(\beta ,\,\,g(\beta )) της γραφικής παράστασης της gπου απέχει από το σημείο A(1,\,\,f(1)))απόσταση d=\frac{\sqrt{2}}{2} .

Β. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες στα σημεία A,B αντίστοιχα των {{C}_{f}},\,\,{{C}_{g}} είναι παράλληλες και ότι {{x}^{2}}>\ln x,\,\,\,x>0

Γ. Να δειχθεί ότι ισχύει {{e}^{{{x}^{2}}}}+x\ln x>{{x}^{3}}+x,\,\,\,x>0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Re: ΑΠΟΣΤΑΣΗ-ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ-ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 19, 2016 4:07 am
από Rempeskes
KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα :logo: με μιά αποψινή δημιουργία...

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=\ln x,\,\,x>0 και g(x)={{x}^{2}},\,\,x\in R.

Α. Να βρεθεί το σημείο B(\beta ,\,\,g(\beta )) της γραφικής παράστασης της gπου απέχει από το σημείο A(1,\,\,f(1)))απόσταση d=\frac{\sqrt{2}}{2} .

Β. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες στα σημεία A,B αντίστοιχα των {{C}_{f}},\,\,{{C}_{g}} είναι παράλληλες και ότι {{x}^{2}}>\ln x,\,\,\,x>0

Γ. Να δειχθεί ότι ισχύει {{e}^{{{x}^{2}}}}+x\ln x>{{x}^{3}}+x,\,\,\,x>0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Της νύχτας τα καμώματα τα βλέπει η μέρα και γελά :lol:
A)
d(A,B)=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow  \sqrt{(b-1)^2 + b^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}

\Leftrightarrow b^2-b+\frac{1}{4}=0 \Leftrightarrow \left(b-\frac{1}{2} \right)^2 =0\Leftrightarrow b=\frac{1}{2}

\Rightarrow B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)

B)

f'(1)=g'\left(\frac{1}{2} \right)=1

και x^2 +1>x \Rightarrow {e}^{x^2}>x\Rightarrow ln{e}^{x^2}>lnx \Rightarrow x^2>lnx

Γ)

Έστω h(x)= {e}^{x}

Τότε h''(x)=e^x >0 άρα h' Γνησίως αύξουσα ( και h κυρτή).

Η h πληροί τις προυποθέσεις για το \Theta M  T στο \left[lnx,x^2  \right]

Oπότε \exists \xi \in \left(lnx,x^2 \right): h'(\xi )=\frac{{e}^{x^2} -{e}^{lnx}}{x^2 -lnx}


Συνεπώς για \xi >lnx \Rightarrow h'(\xi )>h'(lnx)\Rightarrow \frac{{e}^{x^2} -{e}^{lnx}}{x^2 -lnx} >x

\Leftrightarrow {e}^{x^2} -x>x^3 -x\cdot lnx \Leftrightarrow {e}^{x^2}+x\cdot lnx>x^3 +x