ΑΠΟΣΤΑΣΗ-ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ-ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

ΑΠΟΣΤΑΣΗ-ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ-ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Φεβ 19, 2016 1:47 am

...Καλησπέρα :logo: με μιά αποψινή δημιουργία...

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=\ln x,\,\,x>0 και g(x)={{x}^{2}},\,\,x\in R.

Α. Να βρεθεί το σημείο B(\beta ,\,\,g(\beta )) της γραφικής παράστασης της gπου απέχει από το σημείο A(1,\,\,f(1)))απόσταση d=\frac{\sqrt{2}}{2} .

Β. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες στα σημεία A,B αντίστοιχα των {{C}_{f}},\,\,{{C}_{g}} είναι παράλληλες και ότι {{x}^{2}}>\ln x,\,\,\,x>0

Γ. Να δειχθεί ότι ισχύει {{e}^{{{x}^{2}}}}+x\ln x>{{x}^{3}}+x,\,\,\,x>0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...

Λέξεις Κλειδιά:
Rempeskes
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 08, 2015 10:40 pm

Re: ΑΠΟΣΤΑΣΗ-ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ-ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Rempeskes » Παρ Φεβ 19, 2016 4:07 am

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα :logo: με μιά αποψινή δημιουργία...

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=\ln x,\,\,x>0 και g(x)={{x}^{2}},\,\,x\in R.

Α. Να βρεθεί το σημείο B(\beta ,\,\,g(\beta )) της γραφικής παράστασης της gπου απέχει από το σημείο A(1,\,\,f(1)))απόσταση d=\frac{\sqrt{2}}{2} .

Β. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες στα σημεία A,B αντίστοιχα των {{C}_{f}},\,\,{{C}_{g}} είναι παράλληλες και ότι {{x}^{2}}>\ln x,\,\,\,x>0

Γ. Να δειχθεί ότι ισχύει {{e}^{{{x}^{2}}}}+x\ln x>{{x}^{3}}+x,\,\,\,x>0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Της νύχτας τα καμώματα τα βλέπει η μέρα και γελά :lol:
A)
d(A,B)=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow  \sqrt{(b-1)^2 + b^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}

\Leftrightarrow b^2-b+\frac{1}{4}=0 \Leftrightarrow \left(b-\frac{1}{2} \right)^2 =0\Leftrightarrow b=\frac{1}{2}

\Rightarrow B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)

B)

f'(1)=g'\left(\frac{1}{2} \right)=1

και x^2 +1>x \Rightarrow {e}^{x^2}>x\Rightarrow ln{e}^{x^2}>lnx \Rightarrow x^2>lnx

Γ)

Έστω h(x)= {e}^{x}

Τότε h''(x)=e^x >0 άρα h' Γνησίως αύξουσα ( και h κυρτή).

Η h πληροί τις προυποθέσεις για το \Theta M  T στο \left[lnx,x^2  \right]

Oπότε \exists \xi \in \left(lnx,x^2 \right): h'(\xi )=\frac{{e}^{x^2} -{e}^{lnx}}{x^2 -lnx}


Συνεπώς για \xi >lnx \Rightarrow h'(\xi )>h'(lnx)\Rightarrow \frac{{e}^{x^2} -{e}^{lnx}}{x^2 -lnx} >x

\Leftrightarrow {e}^{x^2} -x>x^3 -x\cdot lnx \Leftrightarrow {e}^{x^2}+x\cdot lnx>x^3 +x


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης