Με ρυθμό μεταβολής

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1755
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Με ρυθμό μεταβολής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Κυρ Νοέμ 30, 2014 12:32 pm

Kαλησπέρα :logo: .

΄Ενα σημείο κινείται κατά μήκος της καμπύλης \displaystyle f(x)=-\frac{x^{5}}{5},x\geq 0. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας \theta που σχηματίζει η εφαπτομένη της C_{f} στο M(a,f(a)) με τον xx' τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τετμημένη του Mείναι 2.

Ευχαριστώ.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
Ch.Chortis
Δημοσιεύσεις: 264
Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
Τοποθεσία: Ελλαδιστάν

Re: Με ρυθμό μεταβολής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ch.Chortis » Κυρ Νοέμ 30, 2014 3:11 pm

pito έγραψε:Kαλησπέρα :logo: .

΄Ενα σημείο κινείται κατά μήκος της καμπύλης \displaystyle f(x)=-\frac{x^{5}}{5},x\geq 0. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας \theta που σχηματίζει η εφαπτομένη της C_{f} στο M(a,f(a)) με τον xx' τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τετμημένη του Mείναι 2.

Ευχαριστώ.
Καλησπέρα σας!
Γνωρίζουμε ότι f'(x)=\tan(\theta (x)) (1)\Rightarrow f''(x)=\dfrac {1} {{\cos}^2(\theta (x))}{\theta}'(x)\Leftrightarrow \boxed {{\theta}'(2)=f''(2)\cdot {\cos}^2(\theta (2))} (\bigstar)
Από την (1) έχουμε:
f'(2)=-\dfrac {5\cdot 2^4} {5}= \tan(\theta (2)) \Leftrightarrow -16=\dfrac {\sin (\theta (2))} {\cos (\theta (2))} \Leftrightarrow 256 {\cos}^2 (\theta (2))={\sin}^2 (\theta (2)) \Leftrightarrow ( 256+1) {\cos^2} (\theta (2))={\sin}^2(\theta (2))+{\cos}^2 (\theta (2))=1 \Leftrightarrow \boxed {{\cos}^2 (\theta (2))=\dfrac {1} {257}}
Ενώ f''(2)=-\dfrac {5\cdot 4\cdot 2^3} {5} \Leftrightarrow \boxed {f''(2)=-32}
Από την (\bigstar), δηλαδή, τελικά:{\theta}'(2)=f''(2)\cdot {\cos}^2(\theta (2))= -32 \cdot \dfrac {1} {257} \Leftrightarrow \boxed {{\theta}'(2)=-\dfrac {32} {257}}


"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1395
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Με ρυθμό μεταβολής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Νοέμ 30, 2014 3:18 pm

pito έγραψε:Kαλησπέρα :logo: .

΄Ενα σημείο κινείται κατά μήκος της καμπύλης \displaystyle f(x)=-\frac{x^{5}}{5},x\geq 0. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας \theta που σχηματίζει η εφαπτομένη της C_{f} στο M(a,f(a)) με τον xx' τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τετμημένη του Mείναι 2.

Ευχαριστώ.
Γεια σου Μυρτώ

Η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\left[0,+\infty\right)} με παράγωγο \displaystyle{f^\prime(x)=-x^4\,,x\geq 0} .

Έτσι, ορίζεται η εφαπτόμενη σε κάθε σημείο \displaystyle{M(a,f(a))} του γραφήματος της και έχει αναλυτική εξίσωση :

\displaystyle{y-f(a)=f^\prime(a)\,(x-a)\,,x\in\mathbb{R}\iff y=-a^4\,x+\dfrac{4\,a^5}{5}\,,x\in\mathbb{R}} .

Έστω \displaystyle{a\geq 0} και \displaystyle{\theta\,(a)} η γωνία που σχηματίζει η εφαπτόμενη στο \displaystyle{M(a,f(a))}

με τον άξονα των τετμημένων. Παρατηρούμε από την εξίσωση αυτής, ότι η εφαπτόμενη δεν είναι κατακόρυφη ευθεία και άρα

\displaystyle{\theta\,(a)\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right]} . Έχουμε ότι :

\displaystyle{\tan\,\theta\,(a)=f^\prime(a)=-a^4\,,a\geq 0\,\,(I)} . Υποθέτουμε ότι υπάρχει \displaystyle{a\in\left(0,+\infty\right) τέτοιο,

ώστε \displaystyle{\theta\,(a)\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)} . Τότε,

\displaystyle{\tan\,\theta\,(a)\in\left[0,+\infty\right)\implies -a^4\in\left[0,+\infty\right)\implies a^4\in\left(-\infty,0\right]\implies a=0} , άτοπο.

Ώστε, \displaystyle{\theta\,(a)\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right]\,,a>0\,\,,\theta\,(0)=0} .

Άσκηση : Να δείξετε ότι η πραγματική συνάρτηση \displaystyle{\theta}, ως συνάρτηση του \displaystyle{a\geq 0}, είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\left[0,+\infty\right)} .

Παραγωγίζοντας ως προς \displaystyle{a} τη σχέση \displaystyle{(I)} έχουμε ότι :

\displaystyle{\dfrac{\theta^\prime(a)}{\cos^2\,\theta\,(a)}=-4\,a^3\,,a\geq 0\,\,\iff \theta^\prime(a)=-4\,a^3\,\cos^2\,\theta\,,a\geq 0\,,(II)} .

Αναζητούμε το \displaystyle{\theta^\prime(2)} . Είναι,

\displaystyle{\tan\,\theta\,(2)=-16\implies 1+\tan^2\,\theta\,(2)=257\implies \dfrac{1}{\cos^2\,\theta\,(2)}=257\implies \cos^2\,\theta\,(2)=\dfrac{1}{257}}

και συνεπώς, από τη σχέση \displaystyle{(II)} , \displaystyle{\theta^\prime(2)=-\dfrac{32}{257}} .

Άσκηση : Να βρεθεί το εμβαδόν, \displaystyle{E(a)\,,a>0}, του χωρίου, που ορίζεται από τη

γραφική παράσταση της \displaystyle{f}, την εφαπτόμενη αυτής στο σημείο της \displaystyle{(a,f(a))} και τον

άξονα των τετμημένων.

Μυρτώ, μου άρεσε η γεωμετρία του θέματος και είπα να προσθέσω ακόμη δύο ασκήσεις. Ελπίζω να αρέσουν.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1755
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Με ρυθμό μεταβολής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Δεκ 01, 2014 9:32 am

Σας ευχαριστώ θερμά και τους δύο για τις απαντήσεις σας.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες