Άρτια και περιττή
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Άρτια και περιττή
Δίνονται οι συναρτήσεις συνεχείς στο για τις οποίες υποθέτουμε ότι η είναι περιττή, η είναι άρτια και ισχύουν οι σχέσεις:
● , για κάθε ,
● και
Να αποδείξετε ότι:
α) και .
β) .
γ) και .
● , για κάθε ,
● και
Να αποδείξετε ότι:
α) και .
β) .
γ) και .
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Άρτια και περιττή
Ας μου επιτραπεί να προσθέσω και ένα επιπλέον ερώτημα που δείχνει και την ιδέα κατασκευής της άσκησης:
δ) Να δείξετε ότι και .
Αλέξανδρος
δ) Να δείξετε ότι και .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Άρτια και περιττή
Αν και γνωστό θέμα, τουλάχιστον σε μένα ας το τιμήσω κάνοντας την αρχή για τα πρώτα , καθώς πρέπει να πάω πανεπιστήμιο.george visvikis έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις συνεχείς στο για τις οποίες υποθέτουμε ότι η είναι περιττή, η είναι άρτια και ισχύουν οι σχέσεις:
● , για κάθε ,
● και
Να αποδείξετε ότι:
α) και .
β)
α. Από το όριο αν θέσουμε συνάρτηση τότε παρατηρούμε ότι οπότε . Όμοια από το δεύτερο όριο (εφαρμόζοντας δηλαδή την ίδια διαδικασία) βγάζουμε ότι .
β. Είναι περιττή, οπότε και από ότι η άρτια βγάζουμε ότι . Θέτω στη δοσμένη σχέση και παίρνουμε το οποίο αποδεικνύει το ζητούμενο.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Άρτια και περιττή
Πάμε και για το ερώτημα γ. το οποίο είναι απαιτητικό και εξαιρετικό.
Θα αποδείξω ότι η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη που βγαίνει εύκολο από τη συναρτησιακή.
Για τη συνέχεια της : το οποίο αποδεικνύει ότι η συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το .
Για την παραγωγισιμότητα της :Θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό , που δίδεται στα μαθηματικά Γενικής Παιδείας.. και κατά συνέπεια έχουμε:
.
Τώρα από τη σχέση βγάζουμε ότι η είναι συνεχής, αφού γράφεται ως . Από την τελευταία επίσης παίρνουμε και την παραγωγισιμότητα της . Τότε παραγωγίζοντας τη σχέση έχουμε:
. Όμως η δε μπορεί να είναι για κάθε αφού τότε η παράγωγος αυτής θα ήταν μηδέν, κάτι το οποίο αντίκειται στην εκφώνηση αφού , άρα για κάθε .
Ελπίζω να μην μπάζει από κάπου (αν και ορισμένα σημεία, δε μου κάθονται καλά (τα κόκκινα δηλ.)) Το αφήνω να το δουν και οι πεπειραμένοι του , και να πουν και αυτοί τη γνώμη τους.
Να ευχαριστήσω τον κ. Γιώργο (Βισβίκη), το Βαγγέλη και το Μιχάλη.
Το ερώτημα Δ είναι πιο βατό, πιστεύω.. Το αφήνω καθώς πρέπει να πάω πανεπιστήμιο.
Θα αποδείξω ότι η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη που βγαίνει εύκολο από τη συναρτησιακή.
Για τη συνέχεια της : το οποίο αποδεικνύει ότι η συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το .
Για την παραγωγισιμότητα της :Θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό , που δίδεται στα μαθηματικά Γενικής Παιδείας.. και κατά συνέπεια έχουμε:
.
Τώρα από τη σχέση βγάζουμε ότι η είναι συνεχής, αφού γράφεται ως . Από την τελευταία επίσης παίρνουμε και την παραγωγισιμότητα της . Τότε παραγωγίζοντας τη σχέση έχουμε:
. Όμως η δε μπορεί να είναι για κάθε αφού τότε η παράγωγος αυτής θα ήταν μηδέν, κάτι το οποίο αντίκειται στην εκφώνηση αφού , άρα για κάθε .
Ελπίζω να μην μπάζει από κάπου (αν και ορισμένα σημεία, δε μου κάθονται καλά (τα κόκκινα δηλ.)) Το αφήνω να το δουν και οι πεπειραμένοι του , και να πουν και αυτοί τη γνώμη τους.
Να ευχαριστήσω τον κ. Γιώργο (Βισβίκη), το Βαγγέλη και το Μιχάλη.
Το ερώτημα Δ είναι πιο βατό, πιστεύω.. Το αφήνω καθώς πρέπει να πάω πανεπιστήμιο.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Άρτια και περιττή
Από το για κάθε δε συνεπάγεται ότι για κάθε μιας που μπορεί για κάποια να είναι και για κάποια άλλα .(Φαντάζομαι γι'αυτό το έχεις κόκκινο)
Καμια βοήθεια για το αν μπορεί κάποιος...
Καμια βοήθεια για το αν μπορεί κάποιος...
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Άρτια και περιττή
Λευτέρη ακριβώς για αυτό το λόγο το έχω κόκκινο.
Όπως επίσης και τα άλλα σημεία.... ναι αυτό το σημείο πράγματι μπάζει από παντού...
Το τελευταίο ερώτημα είναι βατό. Επιδέχεται, τουλάχιστον λύσεις.
Όπως επίσης και τα άλλα σημεία.... ναι αυτό το σημείο πράγματι μπάζει από παντού...
Το τελευταίο ερώτημα είναι βατό. Επιδέχεται, τουλάχιστον λύσεις.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Άρτια και περιττή
Επαναφορά για αυτο το ερώτημαgeorge visvikis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 06, 2014 8:32 pmΔίνονται οι συναρτήσεις συνεχείς στο για τις οποίες υποθέτουμε ότι η είναι περιττή, η είναι άρτια και ισχύουν οι σχέσεις:
● , για κάθε ,
● και
Να αποδείξετε ότι:
γ) και .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Άρτια και περιττή
Για την παραγωγισιμότητα της διακρίνουμε τις περιπτώσεις:Tolaso J Kos έγραψε: ↑Παρ Σεπ 24, 2021 11:04 pmΕπαναφορά για αυτο το ερώτημαgeorge visvikis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 06, 2014 8:32 pmΔίνονται οι συναρτήσεις συνεχείς στο για τις οποίες υποθέτουμε ότι η είναι περιττή, η είναι άρτια και ισχύουν οι σχέσεις:
● , για κάθε ,
● και
Να αποδείξετε ότι:
γ) και .
1. Αν
και εφόσον η είναι περιττή και η άρτια
Παίρνοντας το όριο () βρίσκουμε εύκολα το ζητούμενο
2. Αν
Βρίσκουμε εύκολα ότι ή και
Έστω ότι
Διαιρώντας με και κατόπιν με , το οποίο για κοντά στο είναι διαφορετικό του , έχουμε:
Παίρνοντας το όριο () βρίσκουμε
Ομοίως αν
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Άρτια και περιττή
Διαφορετικά το
Εχουμε
και
προσθέτοντας παίρνουμε
Παραγωγίζοντας ως προς μετά ως προς και χρησιμοποιώντας την
έχουμε ότι
Επειδή υπάρχει με η
δίνει ότι η υπάρχει.
Παραγωγίζοντας την
ως προς
παίρνουμε
Θέτοντας όπου μας δίνει
Ειναι φανερό από τις σχέσεις και
ότι οι εχουν παραγώγους όλων των τάξεων και
.
Ετσι εύκολα βλέπουμε ότι
Εχουμε
και
προσθέτοντας παίρνουμε
Παραγωγίζοντας ως προς μετά ως προς και χρησιμοποιώντας την
έχουμε ότι
Επειδή υπάρχει με η
δίνει ότι η υπάρχει.
Παραγωγίζοντας την
ως προς
παίρνουμε
Θέτοντας όπου μας δίνει
Ειναι φανερό από τις σχέσεις και
ότι οι εχουν παραγώγους όλων των τάξεων και
.
Ετσι εύκολα βλέπουμε ότι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες