Ύπαρξη χ1, χ2

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

themata
Δημοσιεύσεις: 47
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 19, 2009 11:43 pm

Ύπαρξη χ1, χ2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από themata » Τρί Μαρ 18, 2014 8:40 am

Καλημέρα, θα ήθελα την γνώμη σας για την παρακάτω Άσκηση

Έστω μία συνάρτηση f:[a,b]\rightarrow R με
f(a)=f(b)=0
f(x)\neq 0για κάθε εσωτερικό σημείο του (a,b)
f συνεχής στο [a,b]
fπαραγωγίσισμη στο (a,b).
Να δειχθεί ότι υπάρχουν διαφορετικά μεταξύ τους x_{1},x_{2}\in (a,b) τέτοια ώστε

f'(x_{1})f'(x_{2})+g'(x_{1})g'(x_{2})f(x_{1})f(x_{2})=0

όπου g οποιαδήποτε συνάρτηση g:[a,b]\rightarrow R συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b) με g'(x)\neq 0 για κάθε εσωτερικό x του (a,b).

Ευχαριστώ
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Τρί Μαρ 18, 2014 10:48 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: $LaTeX$


Η ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΕΡΔΙΣΕΙ ΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΗΛΙΘΙΟΤΗΤΑ - ΑΡΚΑΣ
makisman
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Τετ Μαρ 03, 2010 12:20 am

Re: Ύπαρξη χ1, χ2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από makisman » Τρί Μαρ 18, 2014 10:00 am

υπάρχει x_{2} \in (a,b), f'(x_{2})\neq 0 αλλιώς η f(x) θα ήταν σταθερή.

έστω k=\frac{g'(x_{2})f(x_{2})}{f'(x_{2})} με f,g παραγωγίσιμες στο (a,b) άρα και στο x_{2}

θεωρώ την H(x)=f(x)e^{kg(x)} από Rolle στο [a,b] έχω υπάρχει x_{1}\in (a,b) ώστε H'(x_{1})=0\Rightarrow f'(x_{1})f'(x_{2})+g'(x_{1})g'(x_{2})f(x_{1})f(x_{2})=0 .

είναι x_{1} \neq x_{2} γιατι αν x_{1}=x_{2} τότε (f'(x_{2}))^{2}+(g'(x{_2}))^{2}(f(x{_2}))^{2}=0\Rightarrow f'(x_{2})=0 , ( g'(x_{2})=0 και f(x_{2})=0) ,άτοπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης