Κοινή εφαπτομένη

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1406
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Κοινή εφαπτομένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Νοέμ 02, 2013 9:04 pm

Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των : \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,f(x) = {e^x}\,\,\,,\,\,\,\,g(x) = \sqrt x } , έχουν κοινή εφαπτομένη .

Edit : διαγράφηκε η λέξη ''μοναδική"


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10578
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κοινή εφαπτομένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 02, 2013 10:39 pm

κοινές εφαπτόμενες.png
κοινές εφαπτόμενες.png (11.65 KiB) Προβλήθηκε 1035 φορές
Ακολουθώντας την τεχνοτροπία του Θάνου εδώ , καταλήγω στην εξίσωση :

4xe^{2x}-4e^{2x}+1=0 , όπου A(x,e^x) σημείο της γραφικής παράστασης της f(x)=e^x .

Αυτή εύκολα με Bolzano βρίσκουμε ότι έχει δύο λύσεις από μία στα διαστήματα (-2,-1) και (0,1) ...


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3925
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Κοινή εφαπτομένη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Νοέμ 02, 2013 10:46 pm

exdx έγραψε:Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των : \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,f(x) = {e^x}\,\,\,,\,\,\,\,g(x) = \sqrt x } , έχουν κοινή εφαπτομένη .
Edit : διαγράφηκε η λέξη ''μοναδική"
Θα δείξω ότι υπάρχει κοινή εφαπτομένη και μάλιστα θα το πάω πιο πέρα και θα αποδείξω ότι υπάρχουν ακριβώς δυο

Έστω M\left( {{x_1},f\left( {{x_1}} \right)} \right) σημείο της γραφικής παράστασης της παραγωγίσιμης στο R συνάρτησης f\left( x \right) = {e^x} οπότε η εφαπτόμενη της {C_f}

στο M\left( {{x_1},f\left( {{x_1}} \right)} \right) έχει εξίσωση \left( {{\varepsilon _1}} \right) \to y - f\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \mathop  \Rightarrow \limits^{f\left( {{x_1}} \right) = {e^{{x_1}}},f'\left( {{x_1}} \right) = {e^{{x_1}}}}  \ldots \boxed{\left( {{\varepsilon _1}} \right) \to y = {e^{{x_1}}} \cdot x + {e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right)}:\left( 1 \right),

και αν N\left( {{x_2},f\left( {{x_2}} \right)} \right) σημείο της παραγωγίσιμης στο \left( {0, + \infty } \right) συνάρτησης g\left( x \right) = \sqrt x οπότε η εφαπτόμενη της {C_g} στο N\left( {{x_2},f\left( {{x_2}} \right)} \right)

έχει εξίσωση \left( {{\varepsilon _2}} \right) \to y - g\left( {{x_2}} \right) = g'\left( {{x_2}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{g\left( {{x_2}} \right) = \sqrt {{x_2}} ,g'\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }}}\ldots \boxed{\left( {{\varepsilon _2}} \right) \to y = \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }}x + \dfrac{{\sqrt {{x_2}} }}{2}}:\left( 2 \right).

Θα δείξω ότι υπάρχουν {x_1} \in R και {x_2} \in \left( {0, + \infty } \right) ώστε: \left( {{\varepsilon _1}} \right) \equiv \left( {{\varepsilon _2}} \right) \Leftrightarrow  \ldots \left\{ \begin{gathered} 
  {e^{{x_1}}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }} \\  
  {e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right) = \dfrac{{\sqrt {{x_2}} }}{2} \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow

\left\{ \begin{gathered} 
  {e^{{x_1}}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }} \\  
  \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{1}{{4{e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right)}} \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {e^{{x_1}}} = \dfrac{1}{{4{e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right)}} \\  
  \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{1}{{4{e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right)}} \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  4{e^{2{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right) - 1 = 0 \\  
  \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{1}{{4{e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right)}} \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \boxed{4\left( {1 - {x_1}} \right) - {e^{ - 2{x_1}}} = 0}:\left( 3 \right) \\  
  \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{1}{{4{e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right)}} \\  
\end{gathered}  \right..

Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση 4\left( {1 - x} \right) - {e^{ - 2x}} = 0 έχει ρίζα στοR. Θεωρούμε τη συνάρτηση h\left( x \right) = 4\left( {1 - x} \right) - {e^{ - 2x}} που είναι παραγωγίσιμη στο R

(πράξεις με παραγωγίσιμες) με h'\left( x \right) =  - 4 + 2{e^{ - 2x}} και h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {e^{ - 2x}} = 2 \Leftrightarrow  - 2x = \ln 2 \Leftrightarrow \boxed{x =  - \dfrac{{\ln 2}}{2}}.

Εύκολα βρίσκουμε ότι για x <  - \dfrac{{\ln 2}}{2} \Rightarrow  \ldots h'\left( x \right) > 0\mathop  \Rightarrow \limits^{h\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\,\left( { - \infty , - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right]} h γνησίως αύξουσα στο \left( { - \infty , - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right] και για

x >  - \dfrac{{\ln 2}}{2} \Rightarrow  \ldots h'\left( x \right) < 0\mathop  \Rightarrow \limits^{h\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\left[ { - \dfrac{{\ln 2}}{2}, + \infty } \right)} h γνησίως φθίνουσα στο \left[ { - \dfrac{{\ln 2}}{2}, + \infty } \right), άρα παρουσιάζει ολικό μέγιστο το

h\left( { - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right) = 4\left( {1 - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right) - 2 = 2 - 2\ln 2 = 2\left( {1 - \ln 2} \right) \mathop  \Rightarrow \limits^{e > 2 \Rightarrow \ln e > \ln 2 \Rightarrow 1 - \ln 2 > 0} h\left( { - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right) > 0. Επίσης είναι

\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {4\left( {1 - x} \right) - {e^{ - 2x}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{e^{ - 2x}}\left( {\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{{{e^{ - 2x}}}} - 1} \right)} \right] \mathop  \Rightarrow \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{{{e^{ - 2x}}}}\mathop  = \limits_{De\,\,L'Hospital}^{\dfrac{0}{0}} \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{ - 4}}{{ - 2{e^{ - 2x}}}} =  \ldots 0 \Rightarrow \left( {\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{{{e^{ - 2x}}}} - 1} \right) =  - 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {e^{ - 2x}} =  + \infty }

\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } h\left( x \right) =  - \infty \mathop  \Rightarrow \limits^{h\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\,\left( { - \infty , - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right]} h\left( {\,\,\left( { - \infty , - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right]} \right) = \left( { - \infty ,h\left( { - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)} \right]\mathop  \mathrel\backepsilon  \limits^{h\left( { - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right) > 0} 0 \Rightarrow h\left( x \right) = 0

έχει ρίζα στο \left( { - \infty , &  - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right] και μάλιστα μοναδική λόγω της μονοτονίας της στο διάστημα αυτό.

Επίσης \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {4\left( {1 - x} \right) - {e^{ - 2x}}} \right] \mathop  \Rightarrow \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {4\left( {1 - x} \right)} \right] =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {e^{ - 2x}} =  \ldots 0} \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } h\left( x \right) =  - \infty \mathop  \Rightarrow \limits^{h\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\left[ { - \dfrac{{\ln 2}}{2}, + \infty } \right)}

h\left( {\left[ { - \dfrac{{\ln 2}}{2}, + \infty } \right)} \right) = \left( { - \infty ,h\left( { - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)} \right]\mathop  \mathrel\backepsilon  \limits^{h\left( { - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right) > 0} 0 \Rightarrow h\left( x \right) = 0 έχει ρίζα στο \left[ { - \dfrac{{\ln 2}}{2}, + \infty } \right)

η οποία μάλιστα είναι και μοναδική λόγω της μονοτονίας της h στο διάστημα αυτό.

Τελικά οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες.


Στάθης
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Δευ Νοέμ 04, 2013 4:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10578
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κοινή εφαπτομένη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 03, 2013 7:58 pm

Ευκαιρίας δοθείσης , ας δώσουμε τροφή για προβληματισμό . Διατυπώνω τον εξής ( γεωμετρικά προφανή ) ισχυρισμό :

Δύο συναρτήσεις , από τις οποίες η μία είναι κοίλη και η άλλη κυρτή , έχουν το πολύ δύο κοινές εφαπτόμενες .

( Ας δεχθούμε χάριν απλότητας το σχολικό ορισμό της κυρτότητας )


Θωμάς Ποδηματάς
Δημοσιεύσεις: 370
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 9:23 pm
Τοποθεσία: Βόλος Μαγνησίας

Re: Κοινή εφαπτομένη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Θωμάς Ποδηματάς » Κυρ Νοέμ 03, 2013 11:54 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:...

Θα δείξω ότι υπάρχουν {x_1} \in R και {x_2} \in \left( {0, + \infty } \right) ώστε: \left( {{\varepsilon _1}} \right) \equiv \left( {{\varepsilon _2}} \right) \Leftrightarrow  \ldots \left\{ \begin{gathered} 
  {e^{{x_1}}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }} \\  
  {e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right) = \dfrac{{\sqrt {{x_2}} }}{2} \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow
...

Στάθης
Χαιρετώ μετά από καιρό την εκλεκτή παρέα του :logo:

Νομίζω ότι πρέπει να συμπληρώσουμε κάτι στην εξαιρετική προσέγγιση του φίλου Στάθη

Για να αληθεύει η δεύτερη από τις εξισώσεις του συστήματος, θα πρέπει x_1<1. Επειδή είναι h(1)=-e^{-2}, η μοναδική ρίζα (2η) θα είναι στο διάστημα
\displaystyle{\left( - \frac{ln2}{2},1 \right)}. Τώρα είμαστε σίγουροι ότι το σύστημα έχει δύο ζεύγη λύσεων, άρα τα γραφήματα ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες.

Φιλικά

Θωμάς


Τους Λαιστρυγόνας και τους Κύκλωπας,
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6803
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Κοινή εφαπτομένη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Νοέμ 04, 2013 6:51 am

Καλημέρα.
Εμένα ο προβληματισμός μου έχει να κάνει με την ερώτηση της άσκησης.

Λέει:
exdx έγραψε:Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των : \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,f(x) = {e^x}\,\,\,,\,\,\,\,g(x) = \sqrt x } , έχουν κοινή εφαπτομένη .

Edit : διαγράφηκε η λέξη ''μοναδική"
Γιατί εμείς πρέπει να δείξουμε πως έχει ακριβώς δύο κοινές εφαπτομένες;

Θα μπορούσε να είναι και ο προβληματισμός ενός μαθητή που παρακολουθεί.

Θα αρκούσε να δείξω απλά πως το σύστημα που βγαίνει έχει μία τουλάχιστον λύση;

Ραντεβού το μεσημέρι.


Χρήστος Κυριαζής
Θωμάς Ποδηματάς
Δημοσιεύσεις: 370
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 9:23 pm
Τοποθεσία: Βόλος Μαγνησίας

Re: Κοινή εφαπτομένη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Θωμάς Ποδηματάς » Δευ Νοέμ 04, 2013 8:53 am

Καλημέρα ...

Εγώ είχα διατυπώσει στο παρελθόν το θέμα στο μάθημα, ως εξής :

"Να δείξετε ότι τα γραφήματα των f(x)=e^x και g(x)=\sqrt(x) έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες"

Επειδή ο φίλος Στάθης ουσιαστικά αυτό το θέμα έλυσε, έκανα την παρατήρηση που έκανα, πάντα και προφανώς καλοπροαίρετα, για να έχει πραγματικά δύο λύσεις το σύστημα που προκύπτει από την απαίτηση ταύτισης των δύο εφαπτόμενων...

Όσον αφορά την αρχική διατύπωση του θέματος,
exdx έγραψε:Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των : \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,f(x) = {e^x}\,\,\,,\,\,\,\,g(x) = \sqrt x } , έχουν κοινή εφαπτομένη .

Edit : διαγράφηκε η λέξη ''μοναδική"
συμφωνώ φυσικά Χρήστο, ότι θα αρκούσε το σύστημα να έχει μία τουλάχιστον λύση, ώστε να δέχονται μία τουλάχιστον κοινή εφαπτομένη. Και σε αυτή όμως την περίπτωση, νομίζω ότι θα έπρεπε για λόγους ορισμού των εξισώσεων να ίσχυε x_1<1, διαφορετικά δεν θα είχε νόημα το σύστημα, αφού η 2η εξίσωσή του θα ήταν αδύνατη...

Φιλικότατα

Θωμάς


Τους Λαιστρυγόνας και τους Κύκλωπας,
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
istam
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Δευ Μάιος 06, 2019 4:22 pm

Re: Κοινή εφαπτομένη

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από istam » Δευ Μάιος 06, 2019 4:25 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Σάβ Νοέμ 02, 2013 10:46 pm
exdx έγραψε:Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των : \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,f(x) = {e^x}\,\,\,,\,\,\,\,g(x) = \sqrt x } , έχουν κοινή εφαπτομένη .
Edit : διαγράφηκε η λέξη ''μοναδική"
Θα δείξω ότι υπάρχει κοινή εφαπτομένη και μάλιστα θα το πάω πιο πέρα και θα αποδείξω ότι υπάρχουν ακριβώς δυο

Έστω M\left( {{x_1},f\left( {{x_1}} \right)} \right) σημείο της γραφικής παράστασης της παραγωγίσιμης στο R συνάρτησης f\left( x \right) = {e^x} οπότε η εφαπτόμενη της {C_f}

στο M\left( {{x_1},f\left( {{x_1}} \right)} \right) έχει εξίσωση \left( {{\varepsilon _1}} \right) \to y - f\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \mathop  \Rightarrow \limits^{f\left( {{x_1}} \right) = {e^{{x_1}}},f'\left( {{x_1}} \right) = {e^{{x_1}}}}  \ldots \boxed{\left( {{\varepsilon _1}} \right) \to y = {e^{{x_1}}} \cdot x + {e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right)}:\left( 1 \right),

και αν N\left( {{x_2},f\left( {{x_2}} \right)} \right) σημείο της παραγωγίσιμης στο \left( {0, + \infty } \right) συνάρτησης g\left( x \right) = \sqrt x οπότε η εφαπτόμενη της {C_g} στο N\left( {{x_2},f\left( {{x_2}} \right)} \right)

έχει εξίσωση \left( {{\varepsilon _2}} \right) \to y - g\left( {{x_2}} \right) = g'\left( {{x_2}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{g\left( {{x_2}} \right) = \sqrt {{x_2}} ,g'\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }}}\ldots \boxed{\left( {{\varepsilon _2}} \right) \to y = \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }}x + \dfrac{{\sqrt {{x_2}} }}{2}}:\left( 2 \right).

Θα δείξω ότι υπάρχουν {x_1} \in R και {x_2} \in \left( {0, + \infty } \right) ώστε: \left( {{\varepsilon _1}} \right) \equiv \left( {{\varepsilon _2}} \right) \Leftrightarrow  \ldots \left\{ \begin{gathered} 
  {e^{{x_1}}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }} \\  
  {e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right) = \dfrac{{\sqrt {{x_2}} }}{2} \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow

\left\{ \begin{gathered} 
  {e^{{x_1}}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }} \\  
  \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{1}{{4{e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right)}} \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {e^{{x_1}}} = \dfrac{1}{{4{e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right)}} \\  
  \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{1}{{4{e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right)}} \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  4{e^{2{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right) - 1 = 0 \\  
  \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{1}{{4{e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right)}} \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \boxed{4\left( {1 - {x_1}} \right) - {e^{ - 2{x_1}}} = 0}:\left( 3 \right) \\  
  \dfrac{1}{{2\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{1}{{4{e^{{x_1}}}\left( {1 - {x_1}} \right)}} \\  
\end{gathered}  \right..

Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση 4\left( {1 - x} \right) - {e^{ - 2x}} = 0 έχει ρίζα στοR. Θεωρούμε τη συνάρτηση h\left( x \right) = 4\left( {1 - x} \right) - {e^{ - 2x}} που είναι παραγωγίσιμη στο R

(πράξεις με παραγωγίσιμες) με h'\left( x \right) =  - 4 + 2{e^{ - 2x}} και h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {e^{ - 2x}} = 2 \Leftrightarrow  - 2x = \ln 2 \Leftrightarrow \boxed{x =  - \dfrac{{\ln 2}}{2}}.

Εύκολα βρίσκουμε ότι για x <  - \dfrac{{\ln 2}}{2} \Rightarrow  \ldots h'\left( x \right) > 0\mathop  \Rightarrow \limits^{h\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\,\left( { - \infty , - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right]} h γνησίως αύξουσα στο \left( { - \infty , - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right] και για

x >  - \dfrac{{\ln 2}}{2} \Rightarrow  \ldots h'\left( x \right) < 0\mathop  \Rightarrow \limits^{h\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\left[ { - \dfrac{{\ln 2}}{2}, + \infty } \right)} h γνησίως φθίνουσα στο \left[ { - \dfrac{{\ln 2}}{2}, + \infty } \right), άρα παρουσιάζει ολικό μέγιστο το

h\left( { - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right) = 4\left( {1 - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right) - 2 = 2 - 2\ln 2 = 2\left( {1 - \ln 2} \right) \mathop  \Rightarrow \limits^{e > 2 \Rightarrow \ln e > \ln 2 \Rightarrow 1 - \ln 2 > 0} h\left( { - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right) > 0. Επίσης είναι

\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {4\left( {1 - x} \right) - {e^{ - 2x}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{e^{ - 2x}}\left( {\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{{{e^{ - 2x}}}} - 1} \right)} \right] \mathop  \Rightarrow \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{{{e^{ - 2x}}}}\mathop  = \limits_{De\,\,L'Hospital}^{\dfrac{0}{0}} \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{ - 4}}{{ - 2{e^{ - 2x}}}} =  \ldots 0 \Rightarrow \left( {\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{{{e^{ - 2x}}}} - 1} \right) =  - 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {e^{ - 2x}} =  + \infty }

\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } h\left( x \right) =  - \infty \mathop  \Rightarrow \limits^{h\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\,\left( { - \infty , - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right]} h\left( {\,\,\left( { - \infty , - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right]} \right) = \left( { - \infty ,h\left( { - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)} \right]\mathop  \mathrel\backepsilon  \limits^{h\left( { - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right) > 0} 0 \Rightarrow h\left( x \right) = 0

έχει ρίζα στο \left( { - \infty , &  - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right] και μάλιστα μοναδική λόγω της μονοτονίας της στο διάστημα αυτό.

Επίσης \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {4\left( {1 - x} \right) - {e^{ - 2x}}} \right] \mathop  \Rightarrow \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {4\left( {1 - x} \right)} \right] =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {e^{ - 2x}} =  \ldots 0} \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } h\left( x \right) =  - \infty \mathop  \Rightarrow \limits^{h\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\left[ { - \dfrac{{\ln 2}}{2}, + \infty } \right)}

h\left( {\left[ { - \dfrac{{\ln 2}}{2}, + \infty } \right)} \right) = \left( { - \infty ,h\left( { - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)} \right]\mathop  \mathrel\backepsilon  \limits^{h\left( { - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right) > 0} 0 \Rightarrow h\left( x \right) = 0 έχει ρίζα στο \left[ { - \dfrac{{\ln 2}}{2}, + \infty } \right)

η οποία μάλιστα είναι και μοναδική λόγω της μονοτονίας της h στο διάστημα αυτό.

Τελικά οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες.


Στάθης
Καλησπέρα, πώς μπορεί να αποδειχθεί ότι οι κοινές εφαπτόμενες ευθείες είναι το πολύ δύο με θεώρημα Rolle?


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες