Απορία στα Ακρότατα
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5237
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Απορία στα Ακρότατα
Χωρίς να είμαι σίγουρος αν είναι ο σωστός φάκελος....
Διαβάζοντας ένα βιβλίο στην ξένη βιβλιογραφία πέτυχα το εξής:
"Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι διαφορίσιμη σε ένα διάστημα . Αν στο και στο και η είναι συνεχής στο τότε το είναι τοπικό μέγιστο.
Αντίστοιχος ορισμός και για το τοπικό ελάχιστο.
Μετά δίνει δύο παρατηρήσεις:
1)Δεν είναι υποχρεωτικό να αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε θέση τοπικού ακροτάτου.
2)Δεν είναι υποχρεωτικό να αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε εσωτερικό σημείο στο οποίο η παρουσιάζει ακρότατο.
Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πώς θα πηγαίνει η γραφική παράσταση στη 2η περίπτωση και πώς είναι αυτό δυνατόν;. Εντάξει στην πρώτη ίσως είναι άκρο διαστήματος, όπου δεν έχουμε αλλαγή μονοτονίας, αλλά στην 2η;
Φιλικά,
Τόλης
Διαβάζοντας ένα βιβλίο στην ξένη βιβλιογραφία πέτυχα το εξής:
"Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι διαφορίσιμη σε ένα διάστημα . Αν στο και στο και η είναι συνεχής στο τότε το είναι τοπικό μέγιστο.
Αντίστοιχος ορισμός και για το τοπικό ελάχιστο.
Μετά δίνει δύο παρατηρήσεις:
1)Δεν είναι υποχρεωτικό να αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε θέση τοπικού ακροτάτου.
2)Δεν είναι υποχρεωτικό να αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε εσωτερικό σημείο στο οποίο η παρουσιάζει ακρότατο.
Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πώς θα πηγαίνει η γραφική παράσταση στη 2η περίπτωση και πώς είναι αυτό δυνατόν;. Εντάξει στην πρώτη ίσως είναι άκρο διαστήματος, όπου δεν έχουμε αλλαγή μονοτονίας, αλλά στην 2η;
Φιλικά,
Τόλης
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Απορία στα Ακρότατα
Θεωρεί άραγε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής;
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
- Δημοσιεύσεις: 1156
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Απορία στα Ακρότατα
Πρέπει να μιλάει για μη συνεχείς:Tolaso J Kos έγραψε:Χωρίς να είμαι σίγουρος αν είναι ο σωστός φάκελος....
Διαβάζοντας ένα βιβλίο στην ξένη βιβλιογραφία πέτυχα το εξής:
"Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι διαφορίσιμη σε ένα διάστημα . Αν στο και στο και η είναι συνεχής στο τότε το είναι τοπικό μέγιστο.
Αντίστοιχος ορισμός και για το τοπικό ελάχιστο.
Μετά δίνει δύο παρατηρήσεις:
1)Δεν είναι υποχρεωτικό να αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε θέση τοπικού ακροτάτου.
2)Δεν είναι υποχρεωτικό να αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε εσωτερικό σημείο στο οποίο η παρουσιάζει ακρότατο.
Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πώς θα πηγαίνει η γραφική παράσταση στη 2η περίπτωση και πώς είναι αυτό δυνατόν;. Εντάξει στην πρώτη ίσως είναι άκρο διαστήματος, όπου δεν έχουμε αλλαγή μονοτονίας, αλλά στην 2η;
Φιλικά,
Τόλης
π.χ. έχει τοπικό ελάχιστο (μάλιστα ολικό) στο αφού , αλλά δεν αλλάζει την μονοτονία.
Βέβαια δεν είναι γνησίως αύξουσα στο
Κώστας Ζερβός
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5237
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Απορία στα Ακρότατα
Ακριβώς από κάτω σε σχόλιο στο υποσέλιδο του βιβλίου γράφει, ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση η οποία παρουσιάζει (τοπικά) ακρότατα σε εσωτερικά σημεία όμως δεν αλλάζει τη μονοτονία της. Εδώ σπάω το κεφάλι μου.Christos.N έγραψε:Θεωρεί άραγε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής;
Για τις μη συνεχείς δεν το έχω ψάξει.. ! Θα την κοιτάξω τη συνάρτηση που έδωσε ο κ. Κώστας.kostas_zervos έγραψε: Πρέπει να μιλάει για μη συνεχείς:
π.χ. έχει τοπικό ελάχιστο (μάλιστα ολικό) στο αφού , αλλά δεν αλλάζει την μονοτονία.
Βέβαια δεν είναι γνησίως αύξουσα στο
Φιλικά,
Τόλης
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15767
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Απορία στα Ακρότατα
Κλασικό παράδειγμα η συνεχής . Δεν βάζω απόδειξη (υπάρχει άλλωστε σε όλα τα καλά βιβλία Ανάλυσης) για να το σκεφτείς. Πάντως στο ολικό ελάχιστο στη θέση δεν υπάρχει διάστημα γύρω του που η συνάρτηση να είναι μονότονη: Ανεβοκατεβαίνει άγρια.Tolaso J Kos έγραψε: 2)Δεν είναι υποχρεωτικό να αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε εσωτερικό σημείο στο οποίο η παρουσιάζει ακρότατο.
Για ασυνεχείς, τα παραδείγματα είναι τετριμμένα. Π.χ. στους ρητούς, στους άρρητους.
Edit: Άλλαξα το παράδειγμα. Το προηγούμενο ήταν ελαττωματικό γιατί είχε κρίσιμο σημείο στο και όχι ελάχιστο, οπότε χρειαζόταν μικροαλλαγή. Ευχαριστώ τον Νίκο Ζαφειρόπουλο (NIZ) για την επισήμανση.
- Συνημμένα
-
- akrotato 2.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 2250 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
- Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
- Επικοινωνία:
Re: Απορία στα Ακρότατα
Η συνάρτηση είναι συνεχής στο , με το να είναι ελάχιστο , αλλά δεν υπάρχει διάστημα της μορφής στο οποίο η να παίρνει θετικές τιμές, ούτε διάστημα της μορφής στο οποίο η να παίρνει αρνητικές τιμές. Με άλλα λόγια δεν υπάρχει διάστημα στο οποίο η να είναι γνησίως φθίνουσα, ούτε διάστημα στο οποίο η να είναι γνησίως αύξουσα. Γι αυτό θέλει προσοχή όταν βλέπουμε τα πράγματα γεωμετρικά. (Κάτι όμως, που παρ' όλους τους κινδύνους του, είναι πολύ χρήσιμο).
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Απορία στα Ακρότατα
Άψογο παράδειγμα Νίκο.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4098
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Απορία στα Ακρότατα
Από τις ερωτήσεις για την κατανόηση της θεωρίας (η ερώτησή σου ουσιαστικά είναι η ερώτηση 10 του 3ου test στο διαφορικό λογισμό εδώ) που έβαλα το σχολικό έτος 2012-2013 στους μαθητές στο σχολείο μου, πιθανόν να δεις κι άλλα ερωτήματα τα οποία θα σε προβληματίσουν στην ύλη της Γ Λυκείου. Σου προτείνω να τα κοιτάξεις και αν έχεις οποιαδήποτε απορία γράψε μας τη σκέψη σου για να σε βοηθήσουμε...
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5237
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Απορία στα Ακρότατα
Καλησπέρα,
κύριε Αλέξανδρε τα διαγωνίσματα τα συγκεκριμένα τα έχω δει, και μάλιστα τα έχω φωτοτυπήσει για να τα έχω στο αρχείο. Ομολογώ ότι ορισμένες ερωτήσεις με έχουν προβληματίσει αρκετά. Μήπως έχετε και κάτι για Ολοκληρωτικό;
Θα ήθελα να διατυπώσω την εξής απορία.
Διαγώνισμα 2 - Διαφορικός Λογισμός
Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με για κάθε που ανήκει στο δεν μπορεί να είναι "". Τι το δίνετε ως Σ ή Λ; Εγώ το δίνω Σωστό. Και το δίνω σωστό διότι κανείς δεν μου εξασφαλίζει την ύπαρξη της συνέχειας της . Βεβαία υπάρχουν συγγραφείς που το δίνουν λάθος και το στηρίζουν στο θεώρημα του .
κύριε Αλέξανδρε τα διαγωνίσματα τα συγκεκριμένα τα έχω δει, και μάλιστα τα έχω φωτοτυπήσει για να τα έχω στο αρχείο. Ομολογώ ότι ορισμένες ερωτήσεις με έχουν προβληματίσει αρκετά. Μήπως έχετε και κάτι για Ολοκληρωτικό;
Θα ήθελα να διατυπώσω την εξής απορία.
Διαγώνισμα 2 - Διαφορικός Λογισμός
Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με για κάθε που ανήκει στο δεν μπορεί να είναι "". Τι το δίνετε ως Σ ή Λ; Εγώ το δίνω Σωστό. Και το δίνω σωστό διότι κανείς δεν μου εξασφαλίζει την ύπαρξη της συνέχειας της . Βεβαία υπάρχουν συγγραφείς που το δίνουν λάθος και το στηρίζουν στο θεώρημα του .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
- Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
- Επικοινωνία:
Re: Απορία στα Ακρότατα
Δεν πρόκειται προφανώς για ορισμό, αλλά για θεώρημαTolaso J Kos έγραψε:Αντίστοιχος ορισμός και για το τοπικό ελάχιστο.
Οι παρατηρήσεις αφορούν στο αν η συνθήκη της αλλαγής προσήμου της είναι αναγκαία. Και δεν είναι.Tolaso J Kos έγραψε: Μετά δίνει δύο παρατηρήσεις:
Αν και η τελευταία ερώτηση έχει συγκεκριμένο αποδέκτη, η συνέχεια της που χρειάζεται;Tolaso J Kos έγραψε: Και το δίνω σωστό διότι κανείς δεν μου εξασφαλίζει την ύπαρξη της συνέχειας της .
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5237
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Απορία στα Ακρότατα
Άμα η δεν είναι συνεχής , παρουσιάζει κάποια ασυνέχεια, τότε μπορεί να αλλάζει πρόσημο. Άρα δεν έχουμε ""
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Απορία στα Ακρότατα
Ομως μπορει να ειναι συνεχης η αρα η να ειναι .Το "δεν μπορει να είναι "" της εκφωνησης περιλαμβανει και την περιπτωση που η ειναι συνεχης.Tolaso J Kos έγραψε: ...Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με για κάθε που ανήκει στο δεν μπορεί να είναι "". Τι το δίνετε ως Σ ή Λ; Εγώ το δίνω Σωστό. Και το δίνω σωστό διότι κανείς δεν μου εξασφαλίζει την ύπαρξη της συνέχειας της . Βεβαία υπάρχουν συγγραφείς που το δίνουν λάθος και το στηρίζουν στο θεώρημα του .
Υ.Γ: συγγνωμη, εχει χαλασει το κουμπι του τονισμου.
Γιαννης Μπαρουμας
Empty your mind, be formless, shapeless — like water. Now you put water in a cup, it becomes the cup; You put water into a bottle it becomes the bottle; You put it in a teapot it becomes the teapot. Now water can flow or it can crash. Be water, my friend. Bruce Lee
Empty your mind, be formless, shapeless — like water. Now you put water in a cup, it becomes the cup; You put water into a bottle it becomes the bottle; You put it in a teapot it becomes the teapot. Now water can flow or it can crash. Be water, my friend. Bruce Lee
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
- Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
- Επικοινωνία:
Re: Απορία στα Ακρότατα
Έστω ότι η δεν είναι "1-1" , τότε ...Tolaso J Kos έγραψε: Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με για κάθε που ανήκει στο δεν μπορεί να είναι ""
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5237
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Απορία στα Ακρότατα
Σωστά, πώς μπορεί κάποιος να μπερδευτεί.gian7 έγραψε:Όμως μπορεί να είναι συνεχής η άρα η να είναι .Το "δεν μπορεί να είναι "" της εκφώνησης περιλαμβάνει και την περίπτωση που η είναι συνεχής.
Ναι, και πάει με άτοπο από .NIZ έγραψε:Έστω ότι η δεν είναι "1-1" , τότε ...Tolaso J Kos έγραψε: Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με για κάθε που ανήκει στο δεν μπορεί να είναι ""
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 5
- Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2011 10:36 pm
Re: Απορία στα Ακρότατα
Καλημέρα σας, θεωρείτε ότι μια συνάρτηση όπως στο παράδειγμα που έθεσε ο κ. Κώστας Ζερβός θα μπορούσε να τεθεί στις εξετάσεις μιας και δεν είναι συνεχής στο σημείο αλλαγής του τύπου;
Ευχαριστώ!
Ευχαριστώ!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15767
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Απορία στα Ακρότατα
Θα έλεγα ότι θα μπορούσε.ΝΟΥΤΣΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ έγραψε: ↑Τρί Φεβ 23, 2021 10:13 amΚαλημέρα σας, θεωρείτε ότι μια συνάρτηση όπως στο παράδειγμα που έθεσε ο κ. Κώστας Ζερβός θα μπορούσε να τεθεί στις εξετάσεις μιας και δεν είναι συνεχής στο σημείο αλλαγής του τύπου;
Ευχαριστώ!
Θα ήταν χρήσιμο να συζητάγαμε στον μάθημα την εν λόγω περίπτωση ασυνεχούς για να μην μένουν οι μαθητές μας με εσφαλμένη-ελλειπή γνώση των συναρτήσεων. Ας δούν και κάτι καλύτερο. Καλό είναι να μην είμαστε προσκολλημένοι στα ίδια και τα ίδια στην διδασκαλία μας αλλά να έχει πλούτο παραδειγμάτων. Από κει και πέρα, αφού το δουν οι μαθητές μας στον πίνακα, μπορούμε να το ζητήσουμε και στις εξετάσεις μας.
-
- Δημοσιεύσεις: 5
- Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2011 10:36 pm
Re: Απορία στα Ακρότατα
Ευχαριστώ για την απάντηση.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τρί Φεβ 23, 2021 10:45 amΘα έλεγα ότι θα μπορούσε.ΝΟΥΤΣΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ έγραψε: ↑Τρί Φεβ 23, 2021 10:13 amΚαλημέρα σας, θεωρείτε ότι μια συνάρτηση όπως στο παράδειγμα που έθεσε ο κ. Κώστας Ζερβός θα μπορούσε να τεθεί στις εξετάσεις μιας και δεν είναι συνεχής στο σημείο αλλαγής του τύπου;
Ευχαριστώ!
Θα ήταν χρήσιμο να συζητάγαμε στον μάθημα την εν λόγω περίπτωση ασυνεχούς για να μην μένουν οι μαθητές μας με εσφαλμένη-ελλειπή γνώση των συναρτήσεων. Ας δούν και κάτι καλύτερο. Καλό είναι να μην είμαστε προσκολλημένοι στα ίδια και τα ίδια στην διδασκαλία μας αλλά να έχει πλούτο παραδειγμάτων. Από κει και πέρα, αφού το δουν οι μαθητές μας στον πίνακα, μπορούμε να το ζητήσουμε και στις εξετάσεις μας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 14 επισκέπτες