Παράγωγος σε σημείο και κανόνες παραγώγισης

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Παράγωγος σε σημείο και κανόνες παραγώγισης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Οκτ 30, 2009 12:03 am

Εάν οι συναρτήσεις f,g είναι τέτοιες ώστε να ισχύει f\left( x \right) = {x^2}g\left( {{x^2}} \right),\forall x \in R
,g\left( 1 \right) = 2,g'\left( 1 \right) = 1, να υπολογίσετε την παράγωγο της f στο 1 (εάν υπάρχει) :mrgreen:

Το έχουμε ξαναδεί αλλά αξίζει να το ξαναπούμε


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2825
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Παράγωγος σε σημείο και κανόνες παραγώγισης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Παρ Οκτ 30, 2009 9:16 am

Για να βρούμε το \lim_{x\rightarrow 1}\frac{g(x^{2})-g(1)}{x-1}, θέτουμε x^{2}=u και αφού x\rightarrow 1, έχουμε x>0, άρα x=\sqrt{u}, οπότε:
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{g(x^{2})-g(1)}{x-1} = \lim_{u\rightarrow 1}\frac{g(u)-g(1)}{\sqrt{u}-1} =\lim_{u\rightarrow 1}\frac{(g(u)-g(1))(\sqrt{u}+1)}{u-1} = 2g'(1)

Επίσης αφού η g είναι παραγωγίσιμη στο 1, θα είναι και συνεχής στο 1, δηλαδή, lim_{x\rightarrow 1}g(x)=g(1),

οπότε θέτοντας x=t^{2} βρίσκουμε:

\lim_{t\rightarrow 1}g(t^{2})=g(1)

Συνεπώς:

\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}g(x^{2})-g(1)}{x-1}=
=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}g(x^{2})-g(x^{2})+g(x^{2})-g(1)}{x-1}=
=\lim_{x\rightarrow 1}\left[ \frac{x^{2}g(x^{2})-g(x^{2})}{x-1}+\frac{g(x^{2})-g(1)}{x-1}\right]=
=\lim_{x\rightarrow 1}\left[g(x^{2})\frac{x^{2}-1}{x-1}+\frac{g(x^{2})-g(1)}{x-1}\right]=
=\lim_{x\rightarrow 1}\left[g(x^{2})\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}+\frac{g(x^{2})-g(1)}{x-1}\right]=
=2g(1)+2g'(1)=4+2=6.

Επομένως f'(1)=6.
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Παρ Οκτ 30, 2009 9:30 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1019
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: Παράγωγος σε σημείο και κανόνες παραγώγισης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Παρ Οκτ 30, 2009 9:28 am

mathxl έγραψε: Εάν οι συναρτήσεις f,g είναι τέτοιες ώστε να ισχύει f\left( x \right) = {x^2}g\left( {{x^2}} \right),\forall x \in R
,g\left( 1 \right) = 2,g'\left( 1 \right) = 1, να υπολογίσετε την παράγωγο της f στο 1 (εάν υπάρχει) :mrgreen:
Το έχουμε ξαναδεί αλλά αξίζει να το ξαναπούμε
ΛΥΣΗ

Παραγωγιζοντας μόνο για χ=1 έχουμε
f'(x) = 2xg\left( {{x^2}} \right) + {x^2}g'\left( {{x^2}} \right)2x
Οπότε για χ=1
f'(1) = 6


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Παράγωγος σε σημείο και κανόνες παραγώγισης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Παρ Οκτ 30, 2009 1:12 pm

Θέλω να επισημάνω, ότι ο τρόπος του Κώστα είναι αρκετά επικίνδυνος.
Ασφαλώς, δεν εννοώ ότι ο Κώστας δεν το έλαβε υπ' όψιν.
Η h(x) = x^2, είναι παραγωγίσιμη στο 1 και η g είναι παραγωγίσιμη στο h(1)=1 (συμπτωματικά!)
Αν είχαμε π.χ h(x) = 2x^2, θα είχαμε νομίζω πρόβλημα.

Φιλικά Χρήστος
Σήμερα παρατήρησα την τοποθεσία του Κώστα.
Ήμουν στρατιώτης στο 535, Φέρες


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Παράγωγος σε σημείο και κανόνες παραγώγισης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Οκτ 30, 2009 1:16 pm

Με αυτήν την συμπλήρωση του Χρήστου παρουσιάζεται και ολοκληρωμένος ο δεύτερος τρόπος λύσης, ο οποίος βασίζεται στον κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης σε σημείο :)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης