Ύπαρξη... c...

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Ύπαρξη... c...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τετ Οκτ 28, 2009 10:07 pm

Έστω συνάρτηση f:[a,b]\to\mathbb{R} ,δυο φορές παραγωγίσιμη.

Να αποδείξετε ότι για κάθε x\in(a,b) υπάρχει c\in(a,b) τέτοιο,ώστε :\displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f''(c)\cdot(x-b)}{2}}


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4258
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη... c...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Οκτ 29, 2009 12:23 pm

Φωτεινή κάτι δεν μου έρχεται καλά:
Με f\left( x\right) =x^{3} και a=0, b=1 η σχέση
\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}-\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}=\frac{f^{\prime \prime }\left( c\right) \left( x-b\right) }{2}
γίνεται
x^{2}-1=\allowbreak 3c\left( x-1\right)
και επομένως για x\in \left( 0,1\right) πρέπει x+1=3c. 'Ομως θα πρέπει 0<c<x και έπομένως 0<\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}<x δηλαδή \frac{1}{2}<x<1. Επομένως το c δεν υπάρχει για κάθε x\in \left( 0,1\right)
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Ύπαρξη... c...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Πέμ Οκτ 29, 2009 12:30 pm

nsmavrogiannis έγραψε:Φωτεινή κάτι δεν μου έρχεται καλά:
τώρα ,να την ξαναδώ στο βιβλίο που την πήρα
---------------
την ξανακοίταξα
δεν έχω αντιγράψει λάθος ,έτσι ακριβώς τη δίνει (άλυτη)
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Πέμ Οκτ 29, 2009 12:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη... c...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Οκτ 29, 2009 12:34 pm

Χωρίς να ισχυρίζομαι ότι η εκφώνηση δεν έχει λάθος, υπάρχει ακριβώς η ίδια στο Νεγρεπόντη τόμος ΙΙα σελ31 ασκ18-75. Η διατύπωσή του είναι αυτή


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2711
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ύπαρξη... c...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Οκτ 29, 2009 12:38 pm

nsmavrogiannis έγραψε: ..........
'Ομως θα πρέπει 0<c<x ...
Γιατί; Δεν βλέπω αμέσως γιατί πρέπει c<x.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4258
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη... c...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Οκτ 29, 2009 1:04 pm

Ωχ συγχωρέστε με διάβασα λάθος. Αχιλλέα έχεις δίκιο. Η εκφώνηση δεν λέει ότι πρέπει το c να είναι μεταξύ a, x.
Θα το ξαναδώ με άλλη ματιά το θέμα.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ύπαρξη... c...

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Οκτ 29, 2009 4:44 pm

Καλημερα. Οριζουμε \displaystyle g(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x-a}. Ετσι, απο θεωρημα Taylor (μεσης τιμης στην ουσια), εχουμε g(x) = g(b) + g^{\prime} (\xi) (x - b) για \xi \in (x, b).

Ισχυει επισης \displaystyle g^{\prime} (\xi) = \frac{(\xi - a) f^{\prime}(\xi) - f(\xi) + f(a)}{(\xi - a)^2} = \frac{1}{2} f^{\prime \prime} (c) με c \in (a, \xi), παλι απο το θεωρημα Taylor.

Αντικαθιστωντας στην πρωτη σχεση το g^{\prime} (\xi) εχουμε το ζητουμενο \displaystyle \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} + \frac{1}{2} f^{\prime \prime} (c) (x - b)

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης