Εύρεση τύπου

mathxl · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f ορισμένη στο (-1/2,+οο) η οποία είναι θετική και ισχύει για κάθε χ στο(-1/2,+οο): $\left(\frac{1}f\right)'=f$ . Να βρείτε τον τύπο της, όταν f(0)=1

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

Θέτω για ευκολία $\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{{f(x)}} }$
επομένως έχουμε $\displaystyle{ g'(x) = \frac{1}{{g(x)}} \Rightarrow g'(x) \cdot g(x) = 1 \Rightarrow \left( {g^2 (x)} \right)^\prime = 2 \Rightarrow g^2 (x) = 2x + k }$
Για x=0 προκύπτει $\displaystyle{ g^2 (x) = 2x + 1 \Rightarrow \frac{1}{{f^2 (x)}} = 2x + 1 \Rightarrow f^2 (x) = \frac{1}{{2x + 1}}\mathop \Rightarrow \limits^{f(x) > 0} f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\;,\;x > - \frac{1}{2} }$

Η συνάρτηση αυτή είναι δεκτή(moderator).

Ilias_Zad · #3

$\leftrightarrow f'(x)=-f^3(x) => \frac{1}{f^2(x)}=2x+c => f^2(x)=\frac{1}{2x+c}$
f(0)=1 => c=1

, και αφου f>0

, $f(x)=\sqrt{\frac{1}{2x+1}}$

EDIT,ο χρηστος με προλαβε

Η συνάρτηση αυτή είναι δεκτή(moderator).

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση