mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 26, 2012 1:47 pm**

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 26, 2012 2:04 pm**

orestisgotsis έγραψε:Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}+1}$ και να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{{e}^{{{x}^{2}}-x}}>\frac{{{x}^{4}}+1}{{{x}^{2}}+1}$ .

Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb R$ με $\displaystyle{f'(x)=\frac{e^x(x^2+1)-2xe^x}{(x^2+1)^2}=\frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}\geq 0}$ ( η ισότητα ισχύει μόνο για x=1

).

Eπομένως, η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb R$ και δεν παρουσιάζει ακρότατα. Η ανίσωση γράφεται :

$\displaystyle{\frac{e^{x^2}}{e^x}>\frac{x^4+1}{x^2+1}\overset{\theta \epsilon \tau .}\Leftrightarrow \frac{e^{x^2}}{x^4+1}>\frac{e^x}{x^2+1}\Leftrightarrow f(x^2)>f(x)\overset{f \uparrow}\Leftrightarrow x^2>x\Leftrightarrow x<0~\acute{\eta}~x>1}$ .

mathematica.gr

Ανίσωση

Ανίσωση

Re: Ανίσωση