Τιμή Παραγώγου

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

nonlinear
Δημοσιεύσεις: 290
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 28, 2010 3:51 am

Τιμή Παραγώγου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nonlinear » Τετ Μαρ 16, 2011 10:26 am

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \sqrt {\left( {1 + \varepsilon \varphi \left( {2 x} \right)} \right) \cdot \left( {1 + \varepsilon \varphi \left( {4 x} \right)} \right) \cdot \left( {1 + \varepsilon \varphi \left( {6  x} \right)} \right) \cdot ... \cdot \left( {1 + \varepsilon \varphi \left( {32  x} \right)} \right)} }

Να βρεθεί η τιμή της \displaystyle{f'\left( 0 \right)}.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τιμή Παραγώγου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Μαρ 16, 2011 10:53 am

Είναι \displaystyle{f(0)=1} και για \displaystyle{x} κοντά στο \displaystyle{0} έχουμε

\displaystyle{\ln f(x)=\frac{1}{2}\left[\ln (1+\tan 2x)+\ln (1+\tan 4x)+\cdots \ln (1+\tan 32x) \right]}, άρα

\displaystyle{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{1}{2}\left[2\frac{1+\tan ^{2}2x}{1+\tan 2x}+4\frac{1+\tan ^{2}4x}{1+\tan 4x}+\cdots +32\frac{1+\tan ^{2}32x}{1+\tan 32x} \right]}.

Επομένως, είναι

\displaystyle{f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}(2+4+\cdots +32)=1+2+3+\cdots +16=\frac{16\cdot 17}{2}=136.}


Μάγκος Θάνος
nonlinear
Δημοσιεύσεις: 290
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 28, 2010 3:51 am

Re: Τιμή Παραγώγου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nonlinear » Τετ Μαρ 16, 2011 11:41 am

Ωραία λύση Θάνο. :clap2:


Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Τιμή Παραγώγου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τετ Μαρ 16, 2011 12:36 pm

Μετά την κομψή απάντηση του Θάνου
---------------------------------------
\displaystyle{f(x)=\sqrt{(1+\tan(2x))(1+\tan(4x))\dots (1+\tan(32x))}\Longrightarrow f(x)=\sqrt{g(x)}}

\displaystyle{f^{\prime}(x)=\frac{1}{2f(x)}\cdot\Big(2 (1+\tan^2(2x))\cdot\frac{g(x)}{1+\tan(2x)}+4 (1+\tan^2(4x))\cdot\frac{g(x)}{1+\tan(4x)}+\dots+32 (1+\tan^2(32x))\cdot\frac{g(x)}{1+\tan(32x)}\Big)}

\displaystyle{f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{f(x)}\Big(\frac{1+\tan^2(2x)}{1+\tan(2x)}+2\frac{1+\tan^2(4x)}{1+\tan(4x)}+\dots+16\frac{1+\tan^2(32x)}{1+\tan(32x)}\Big)\Longrightarrow f^{\prime}(0)=1+2+\dots+16=136}


Φωτεινή Καλδή
GMANS
Δημοσιεύσεις: 503
Εγγραφή: Τετ Απρ 07, 2010 6:03 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Τιμή Παραγώγου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GMANS » Τετ Μαρ 16, 2011 3:56 pm

Αν g_n(x)=1+\varepsilon \varphi (2nx)  ,  
n\varepsilon N

g_n παρ/μη σε άνοικτό διάστημα Δ
που περιέχει το 0 με

\acute{g}_n(x)=\frac{2n}{\sigma \upsilon  
\nu ^2(2nx)}

Αν h(x)=g_1(x)g_2(x)...g_1_6(x) τότε

f(x)=\sqrt{h(x)}, , h παρμή στο Δ με

\acute{h}(x)=h(x)(\frac{\acute{g_1(x)}}{g_1(x)}+\frac{\acute{g_2(x)}}{g_2(x)}+...+\frac 
{\acute{g_1_6(x)}}{g_1_6(x)})


F παρ/μη στο Δ με

\acute{f}(x)=\frac{\acute{h}(x)}{2\sqrt{h(x)}}

Οπότε

\acute{f}(0)=\frac{2\acute{h}(0)}{\sqrt{h 
(0)}}=\frac{2+4+...+32}{2}=136


Γ. Μανεάδης
nonlinear
Δημοσιεύσεις: 290
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 28, 2010 3:51 am

Re: Τιμή Παραγώγου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nonlinear » Τετ Μαρ 16, 2011 5:54 pm

Πολύ ωραία λύση επίσης GMANS . :coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες