Σημείο καμπής = Σημείο ακροτάτου;

[chris_gatos]

Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε διάστημα ,τότε η γραφική παράσταση της, μπορεί να παρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο του ακρότατο και σημείο καμπής;
Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας...

ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ:, Μιας και ανασύρθηκε το θέμα διόρθωσα τον κώδικα Latex...Παλιά αμαρτήματα!

[R BORIS]

όχι δεν είναι δυνατόν
Προκύπτει από την μελέτη του πίνακα μονοτονίας εκατέρωθεν του α (α-δ,α+δ) και την εις άτοπο απαγωγή ξεκινώντας από την f ''(x)
Σημειωτέο ότι το α είναι εσωτερικό του διαστήματος Δ και ισχύει Fermat
Αυτά σύμφωνα με τους ορισμούς του σχολικού βιβλιου
Νομίζω ὀτι δεν υπάρχει πρόβλημα ούτε στην περίπτωση γωνιακού σημείου ούτε κατακόρυφης εφαπτομένης

[χρηστος ευαγγελινος]

μια ωραια ασκηση ειναι η εξης:

αν μια συναρτηση ειναι παραγωγισιμη και κυρτη και παρουσιαζει μεγιστο σε ενα σημειο,τοτε ειναι σταθερη.αντιστοιχα αν ειναι κοιλη και παρουσιαζει ελαχιστο

[johnbausis]

Την άσκηση με το Σ.Κ και το ακρότατο την είχε βάλει και ο κ.Μαυρογιάννης στο παλιό mathematica

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

καλησπέρα.
Αν η πρώτη , η δεύτερη , τρίτη, ..... , η ν-1 τάξεως παράγωγος, μηδενίζονται στο Χο και η νιοστή παράγωγος είναι διάφορη του μηδενός τότε:
αν \displaystyle \nu \geqslant 3 και ν περιττός τότε η συνάρτηση f στο Χο παρουσιάζει καμπή.

Αν η πρώτη , η δεύτερη , τρίτη, ..... , η ν-1 τάξεως παράγωγος, μηδενίζονται στο Χο και η νιοστή παράγωγος είναι θετική και ν άρτιος τότε στο Χο έχουμε ελάχιστο.

Αν η πρώτη , η δεύτερη , τρίτη, ..... , η ν-1 τάξεως παράγωγος, μηδενίζονται στο Χο και η νιοστή παράγωγος είναι αρνητική και ν άρτιος τότε στο Χο έχουμε μέγιστο.
Θωμάς

[paganini]

Κατι αντιστοιχο:Το σημειο καμπης της f ειναι ακρότατο της f'και αντιστροφως;
Επισης αν ενα σημειο (χο,f(xo) ειναι ελαχιστο (και η f παραγωγισιμη κτλπ) μπορουμε να συμπερανουμε οτι η f ειναι φθινουσα αριστερα και αυξουσα δεξια του χο;

[mathxl]

Κατι αντιστοιχο:Το σημειο καμπης της f ειναι ακρότατο της f' και αντιστροφως;

Γενικά όχι πχ , στήν εντός εξεταστέα ύλη ναι
Το αντίστροφο δεν ισχύει πχ φ΄(χ)= 2χ, χ ανήκει στο [1,2] έχει ακρότατα στα άκρα τα οποία δεν είναι σημεία καμπής για την φ

[paganini]

Αν εξασφαλισουμε οτι ειναι εσωτερικο σημειο ισχυει;
Σχετικα με το ευθυ γιατι δεν ισχυει παντα;Αφου ειναι σημειο καμπης η f θα ειναι κοιλη αριστερα κυρτη δεξια η αντιστροφως δηλαδη η f' φθινουσα αριστερα αυξουσα δεξια αρα ακροτατο!

[mathxl]

...αν ενα σημειο (χο,f(xo) ειναι ελαχιστο (και η f παραγωγισιμη κτλπ) μπορουμε να συμπερανουμε οτι η f ειναι φθινουσα αριστερα και αυξουσα δεξια του χο;

Όχι, πχ η ημχ με ελάχιστο το -1, δες την γραφικά.
Αν όμως έλεγες κοντά στο χ0 τότε αλλάζει...πχ πάρε μία συνεχή χωρις διακοπές γραφική η οποία να είναι και λεία (να μην κάνει μύτες-γωνίες) ώστε να έχει χαμηλότερο σημείο σε κάποιο σημείο. Δες το σχήμα, Προσπαθώντας να πλησιάσεις το χαμηλότερο σημείο από αριστερά και κοντά σε αυτό πρέπει να κατέβεις (φθίνει η συνάρτηση) και΄αφού το συναντήσεις κινούμενος προς τα δεξιά να ανέβεις (αυξάνει), όλα αυτά όμως κοντά στο ελάχιστο.

[mathxl]

Αν εξασφαλισουμε οτι ειναι εσωτερικο σημειο ισχυει;
Σχετικα με το ευθυ γιατι δεν ισχυει παντα;Αφου ειναι σημειο καμπης η f θα ειναι κοιλη αριστερα κυρτη δεξια η αντιστροφως δηλαδη η f' φθινουσα αριστερα αυξουσα δεξια αρα ακροτατο!

Στο παράδειγμα που δίνω το 0 είναι ΣΚ για τη f αλλά δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της παραγώγου οπότε...αν όμως ενδιαφέρεσαι για τις εξετάσεις(νομίζω είσαι μαθητής, η περίπτωση της κατακόρυφης εφαπτομένης είνα εκτός ύλης) τότε ισχύει

[paganini]

Ναι κοντα στο χο αναφερομαι.Δηλαδη ισχυει ετσι;Αρα αν εχουμε την f 2 φορες παραγωγισιμη και εξασφαλισουμε (με με γιστης ελαχιστης) οτι η f' εχει ελασχιστο (και αποκλεισουμε και τα ακρα) λεμε οτι εινα φθινουσα αριστερα αυξουσα δεξια αρα απο τον ορισμο του σχολικου Σ.Καμπης!Σωστα;
Κατι ακομα: επειδη ο ορισμος του ελαχιστου-μεγιστου αναφερεται σε ανισοισοτητα μπορουμε να πουμε πως μια σταθερη συναρτηση εχει παντου μεγιστο και ελαχιστο;Τι σοι ελαχιστο ειναι αυτο τοτε;!

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

...αν ενα σημειο (χο,f(xo) ειναι ελαχιστο (και η f παραγωγισιμη κτλπ) μπορουμε να συμπερανουμε οτι η f ειναι φθινουσα αριστερα και αυξουσα δεξια του χο;

Όχι, πχ η ημχ με ελάχιστο το -1, δες την γραφικά.
Αν όμως έλεγες κοντά στο χ0 τότε αλλάζει...πχ πάρε μία συνεχή χωρις διακοπές γραφική η οποία να είναι και λεία (να μην κάνει μύτες-γωνίες) ώστε να έχει χαμηλότερο σημείο σε κάποιο σημείο. Δες το σχήμα, Προσπαθώντας να πλησιάσεις το χαμηλότερο σημείο από αριστερά και κοντά σε αυτό πρέπει να κατέβεις (φθίνει η συνάρτηση) και΄αφού το συναντήσεις κινούμενος προς τα δεξιά να ανέβεις (αυξάνει), όλα αυτά όμως κοντά στο ελάχιστο.

Η συνάρτηση με για και 0 για x=0, έχει τοπικό ελάχιστο στο 0, δεν είναι γνησίως αύξουσα σε κανένα διάστημα δεξιά του 0 ούτε γνησίως φθήνουσα σε κανένα διάστημα αριστερά του 0.
Προσπάθησα να φτιάξω ένα σχεδιάκι από το geogebra αλλά δεν τα κατάφερα...

[mathxl]

Μχμχμ ..άπειρη ταλάντωση ...ναι εχεις δίκιο, δεν μπορούμε να ισχυριστούμε το λογικοφανές

[paganini]

δηλαδη το θεμα του 2003 ηταν στανταρ λαθος.

[mathxl]

Σε τι ακριβώς αναφέρεσαι; Αν μιλάς για ΘΕΜΑ 1 ε ναι είναι Λ
Αν μιλάς για το ΘΕΜΑ 4δ, αν θυμάμαι καλά είχε ακυρωθεί

[paganini]

στο 4δ αναφερομαι.Ζηταει να δειξουμε οτι ειναι σημειο καμπης.Εγω ξερω οτι το πιασαν σωστο σοσους δειξαν οτι υπαρχει ριζα της 2ης παραγωγου και το κοψαν στους υπολοιπους.Αυτα ειναι τα ...ωραια των εξετασεων.Ελπιζω να μην εχουμε τετοια φετος.