Με παραγώγους

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Με παραγώγους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Απρ 23, 2009 12:39 am

Έστω f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} δυο φορές παραγωγίσιμη με f(0)=0\,\,\,\,\,f^{\prime}(0)>0 και f^{\prime}^{\prime}(x)\geq f(x)\,\,\,\,\forall x\geq0. Ας δειχθεί ότι f(x)>0\,\,\,\,\forall x>0.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Με παραγώγους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Απρ 23, 2009 12:57 am

Προσθέτω και στα δύο μέλη την f' (x).
Λαμβάνω οτι f ''(x)+f '(x)>= f '(x)+f(x) . πολλαπλάσιάζω και τα δύο μέλη με \displaystyle{\displaystyle  
e^x  
} και τελικά παίρνω πως η συνάρτηση g με g(x)=[f'(x)-f(x)]\displaystyle{\displaystyle  
e^x  
} είναι αύξουσα για χ>=0.
Αρα χ>=0 => g(x)>=g(0) => [f'(x)-f(x)]\displaystyle{\displaystyle  
e^x  
}>=f'(0)>0 οπότε και f'(x)-f(x)>0, για x>0. Πολλαπλασιάζοντας τώρα με \displaystyle{\displaystyle  
e^{ - x}  
} , λαμβάνουμε πως η συνάρτηση h με h(x)=f(x)\displaystyle{\displaystyle  
e^{ - x}  
}, είναι γνησίως αύξουσα για χ>=0, συνεπώς:
χ>0 => f(x)\displaystyle{\displaystyle  
e^{ - x}  
}>0 => f(x)>0.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Με παραγώγους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Απρ 23, 2009 1:35 am

chris_gatos έγραψε:Προσθέτω και στα δύο μέλη την f' (x).
Λαμβάνω οτι f ''(x)+f '(x)>= f '(x)+f(x) . πολλαπλάσιάζω και τα δύο μέλη με \displaystyle{\displaystyle  
e^x  
} και τελικά παίρνω πως η συνάρτηση g με g(x)=[f'(x)-f(x)]\displaystyle{\displaystyle  
e^x  
} είναι αύξουσα για χ>=0.
Αρα χ>=0 => g(x)>=g(0) => [f'(x)-f(x)]\displaystyle{\displaystyle  
e^x  
}>=f'(0)>0 οπότε και f'(x)-f(x)>0, για x>0. Πολλαπλασιάζοντας τώρα με \displaystyle{\displaystyle  
e^{ - x}  
} , λαμβάνουμε πως η συνάρτηση h με h(x)=f(x)\displaystyle{\displaystyle  
e^{ - x}  
}, είναι γνησίως αύξουσα για χ>=0, συνεπώς:
χ>0 => f(x)\displaystyle{\displaystyle  
e^{ - x}  
}>0 => f(x)>0.
ΠΠΠάρα πολύ ωραία. Η άσκηση αυτή υπάρχει στο βιβλίο των paulo ney de souza-jorge nuno silva "berkely problems in mathematics". (μιας και το ανέφερε ο Νικος.) Η απόδειξη που δίνει ξεφεύγει από τη σχολική ύλη. Η λύση σου φτιάχνει ένα ωραίο σχολικό θεματάκι!


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες