και μια εξίσωση..

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
giannisn1990
Δημοσιεύσεις: 252
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
Τοποθεσία: Greece

και μια εξίσωση..

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisn1990 » Τρί Απρ 21, 2009 9:10 am

Να λυθεί στο \dislaystyle  \mathbb{R} η παρακάτω εξίσωση

\dislaystyle \sin^{x^{2}}\frac{\pi}{12} \cdot \cos ^{x}\frac{\pi}{12}+\sin^{x}\frac{\pi}{12} \cdot \cos ^{x^{2}}\frac{\pi}{12}=4^{-x}


Γιάννης
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: και μια εξίσωση..

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τρί Απρ 21, 2009 10:20 am

Την έχω δει και σε άλλη ιστοσελίδα . Δίνω στο επισυναπτόμενο την ίδια υπόδειξη που έκανα εκεί με επιφύλαξη για τυχόν λάθος.

Γιώργος
Συνημμένα
.doc
(33 KiB) Μεταφορτώθηκε 88 φορές


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: και μια εξίσωση..

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Απρ 21, 2009 10:20 am

Kαλημέρα σε όλους...
Μια προσέγγιση στην εξίσωση του Γιάννη...

Απο τη γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα sin2a=2sinacosa λαμβάνουμε :

\displaystyle{\displaystyle  
\sin \frac{\pi } 
{{12}} = \frac{{\sin \frac{\pi } 
{6}}} 
{{2\cos \frac{\pi } 
{{12}}}} = \frac{1} 
{{4\cos \frac{\pi } 
{{12}}}} 
}
αλλά και :
\displaystyle{\displaystyle  
\cos \frac{\pi } 
{{12}} = \frac{{\sin \frac{\pi } 
{6}}} 
{{2\sin \frac{\pi } 
{{12}}}} = \frac{1} 
{{4\sin \frac{\pi } 
{{12}}}} 
}.

Αρα η εξίσωση γίνεται:
\displaystyle{\displaystyle  
\sin ^{x^2 } \frac{\pi } 
{{12}}\cos ^x \frac{\pi } 
{{12}} + \sin ^x \frac{\pi } 
{{12}}\cos ^{x^2 } \frac{\pi } 
{{12}} = 4^{ - x}  \Leftrightarrow \sin ^{x^2 } \frac{\pi } 
{{12}}\frac{1} 
{{4^x \sin ^x \frac{\pi } 
{{12}}}} + \cos ^{x^2 } \frac{\pi } 
{{12}}\frac{1} 
{{4^x \cos ^x \frac{\pi } 
{{12}}}} = 4^{ - x}  
}
και καταλήγει στη μορφή :
\displaystyle{\displaystyle  
\sin ^{x^2  - x} \frac{\pi } 
{{12}} + \cos ^{x^2  - x} \frac{\pi } 
{{12}} = 1 
} (1).
Έστω \displaystyle{\displaystyle  
f(x) = \sin ^x \frac{\pi } 
{{12}},g(x) = \cos ^x \frac{\pi } 
{{12}},x \in \mathbb{R} 
}.
Tότε και η f αλλά και η g είναι γνησίως φθίνουσες...( 0<sinπ/12<1 και 0<cosπ/12<1 )
Συνεπώς :
\displaystyle{\displaystyle  
\begin{gathered} 
  x^2  - x < 2 \Rightarrow f(x^2  - x) > f(2) \hfill \\ 
  x^2  - x < 2 \Rightarrow g(x^2  - x) > g(2) \hfill \\  
\end{gathered}  
}.
Δηλαδή :
\displaystyle{\displaystyle  
\sin ^{x^2  - x} \frac{\pi } 
{{12}} + \cos ^{x^2  - x} \frac{\pi } 
{{12}} > 1 
}.
Με όμοιο τρόπο αν \displaystyle{\displaystyle  
x^2  - x > 2 
}, προκύπτει :
\displaystyle{\displaystyle  
\sin ^{x^2  - x} \frac{\pi } 
{{12}} + \cos ^{x^2  - x} \frac{\pi } 
{{12}} < 1 
}.
Αρα η μοναδική περίπτωση να ισχύει η (1) είναι αν και μόνο αν
\displaystyle{\displaystyle  
x^2  - x = 2 \Leftrightarrow x = 2 \vee x =  - 1 
}.

Υ.Γ Για να είμαι ειλικρινής εγώ δεν την έχω δεί πουθενά αλλού.


Χρήστος Κυριαζής
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: και μια εξίσωση..

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τρί Απρ 21, 2009 10:42 am

Ωραία η αντιμετώπιση της εξίσωσης στην τελική της μορφή Χρήστο.
Μας απαλλάσσει από τον κόπο να θεωρήσουμε συνάρτηση και να βρούμε την μονοτονία της(αυτό με παίδεψε λίγο).


Γιώργος Ροδόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες