Ανισότητα

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Δευ Απρ 13, 2009 12:19 pm

Αποδείξτε ότι αν 0<a<b τότε \displaystyle\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2} \right)^2<\frac{1}{e}\left(\frac{b^b}{a^a} \right)^{1/(b-a)}.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2171
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Απρ 13, 2009 1:35 pm

Θέτω b=ay ,y=x^2 x>1
Λογαριθμίζω και τελικά θελω Log[(x + 1)/2] - (x^2)(x^2 - 1)^{-1} Log[x] + 1/2>0
το οριο στο 1 είναι το 0 αρκεί να δείξω ότι είναι φθίνουσα
Θέτω g τον αριθμητή της παραγώγου παραγωγίζω δυο φορές και με πίνακα μονοτονίας προκύπτει το ζητούμενο


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3922
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Απρ 13, 2009 1:56 pm

Η δοσμένη ανισότητα γίνεται διαδοχικά:

\displaystyle\frac{a\left(1+\sqrt{\displaystyle\frac{b}{a}}\right)^2}{4} < \displaystyle\frac{1}{e}\left(\displaystyle\frac{b^ab^{b-a}}{a^a}\right)^{\displaystyle\frac{1}{a\left(\displaystyle\frac{b}{a}-1\right)}}=\displaystyle\frac{1}{e}\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)^{\displaystyle\frac{1}{\frac{b}{a}-1}}bάρα αρκεί να αποδείξουμε ότι

\displaystyle\frac{\left(1+\sqrt{\displaystyle\frac{b}{a}}\right)^2}{4} < \displaystyle\frac{1}{e}\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)^{\displaystyle\frac{1}{\frac{b}{a}-1}}\cdot\frac{b}{a} οπότε εάν θέσουμε

\displaystyle\frac{b}{a}=x με x>1 τότε αρκεί να αποδείξουμε ότι για x>1 ισχύει

4x^{\displaystyle\frac{x}{x-1}}-e\left(1+\sqrt{x}\right)^2>0

Ορίζοντας λοιπόν τη συνάρτηση f(x)=4x^{\displaystyle\frac{x}{x-1}}-e\left(1+\sqrt{x}\right)^2 αποδεικνύουμε ότι είναι γν. αύξουσα στο (1,\infty) και επειδή \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}x^{\frac{x}{x-1}}=e, άρα το αποτέλεσμα έπεται.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης