Πολύ καλή άσκηση

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλημέρα σε όλους.
Μου άρεσε αυτή η άσκηση και θα ήθελα να την δούμε. Μπορεί να κολήσει σαν ερώτημα πολύ εύκολα σε ένα πιθανό 3ο ή 4ο θέμα.

Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R, με f(2)=0 και f΄(1)=0.
Αν η συνάρτηση f΄ είναι γνησίως αύξουσα και η fofof έχει ακρότατο στο 2,
να βρεθεί το f(0).

Θωμάς

#2

Ορίζουμε τη συνάρτηση g(x)=(fofof)(x)

με $g^{\prime}(x)=f^{\prime}(f(f(x)))f^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)$ .

Επίσης επειδή η συνάρτηση g(x)

έχει ακρότατο στο σημείο

και είναι παρ/μη σε αυτό, άρα από το θ. Fermat έχουμε $g^{\prime}(2)=0$ δηλαδή από την παραπάνω σχέση παίρνουμε ότι $f^{\prime}(f(f(2)))f^{\prime}(f(2))f^{\prime}(2)= 0$ δηλαδή ότι $f^{\prime}(f(0))f^{\prime}(0)f^{\prime}(2)=0$ . Όμως η συνάρτηση $f^{\prime}$ είναι γνησίως αύξουσα και από τα δεδομένα έχει μία ρίζα το

, άρα και μοναδική. Συνεπώς $f^{\prime}(0)\neq 0$ και $f^{\prime}(2)\neq 0$ . Άρα $f^{\prime}(f(0))=0$ απ΄όπου επειδή η $f^{\prime}$ έχει μοναδική ρίζα το

, άρα θα πρέπει υποχρεωτικά να ισχύει f(0)=1

.

Αλέξανδρος

#3

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Καλημέρα σε όλους.
Μου άρεσε αυτή η άσκηση και θα ήθελα να την δούμε. Μπορεί να κολήσει σαν ερώτημα πολύ εύκολα σε ένα πιθανό 3ο ή 4ο θέμα.

Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R, με f(2)=0 και f΄(1)=0.
Αν η συνάρτηση f΄ είναι γνησίως αύξουσα και η fofof έχει ακρότατο στο 2,
να βρεθεί το f(0).

Θωμάς

Μπορούμε να την δώσουμε κυρτή, ώστε να αποφύγουμε τα πολλά δεδομένα(παραγωγίσιμη και f ' γνησίως αύξουσα !).

Θωμά, όντως ωραία ιδέα !

Μπάμπης

Πολύ καλή άσκηση

Πολύ καλή άσκηση

Re: Πολύ καλή άσκηση

Re: Πολύ καλή άσκηση

Μέλη σε σύνδεση