Ν-1 ρίζες;
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Ν-1 ρίζες;
Έστω , αριθμοί θετικοί και αριθμοί πραγματικοί διαφορετικοί μεταξύ τους ανα δύο ( ν φυσικός, μεγαλύτερος του 1).
Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R-{ρ1,ρ2,...ρν} -> R με τύπο
.
Να αποδείξετε οτι η f παίρνει την τιμή 0 σε ακριβώς ν-1 θέσεις...
Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R-{ρ1,ρ2,...ρν} -> R με τύπο
.
Να αποδείξετε οτι η f παίρνει την τιμή 0 σε ακριβώς ν-1 θέσεις...
Χρήστος Κυριαζής
- giannisn1990
- Δημοσιεύσεις: 253
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
- Τοποθεσία: Greece
Re: Ν-1 ρίζες;
Με τροποποιημένο Bolzano για τα ανοιχτά διαστήματα και μονοτονία σε καθένα από αυτά για την μοναδικότητα και με την παρατήρηση ότι για , για
Re: Ν-1 ρίζες;
Καλησπέρα
Μία πρώτη σκέψη είναι η επόμενη:
Δεδομένου ότι ρ1<ρ2<ρ3<…<ρν, το πεδίο ορισμού είναι Α=(-oo,ρ1)U(ρ1, ρ2)U(ρ2, ρ3) κλπ
Η παράγωγος της f είναι αρνητική σε κάθε διάστημα του πεδίου ορισμού Α
Άρα η f φθίνουσα σε κάθε διάστημα με σύνολο τιμών το IR (πλευρικά όρια + και - άπειρο) άρα μία ρίζα για την f(x)=0 σε κάθε ένα από τα ν-1 διαστήματα (ρk, ρk+1)
Η εξίσωση f(x)=0 είναι ισοδύναμη με την (x-ρ2)(x-ρ3)…(x-ρν)+ (x-ρ1)(x-ρ3)…(x-ρν)+… (x-ρ1)(x-ρ2)…(x-ρν-1)=0 για x στο Α η οποία είναι πολυωνυμική ν-1 βαθμού με ν-1 το πολύ ρίζες. Άρα έχει ακριβώς ν-1
Δημ. Γιαννόπουλος
Μία πρώτη σκέψη είναι η επόμενη:
Δεδομένου ότι ρ1<ρ2<ρ3<…<ρν, το πεδίο ορισμού είναι Α=(-oo,ρ1)U(ρ1, ρ2)U(ρ2, ρ3) κλπ
Η παράγωγος της f είναι αρνητική σε κάθε διάστημα του πεδίου ορισμού Α
Άρα η f φθίνουσα σε κάθε διάστημα με σύνολο τιμών το IR (πλευρικά όρια + και - άπειρο) άρα μία ρίζα για την f(x)=0 σε κάθε ένα από τα ν-1 διαστήματα (ρk, ρk+1)
Η εξίσωση f(x)=0 είναι ισοδύναμη με την (x-ρ2)(x-ρ3)…(x-ρν)+ (x-ρ1)(x-ρ3)…(x-ρν)+… (x-ρ1)(x-ρ2)…(x-ρν-1)=0 για x στο Α η οποία είναι πολυωνυμική ν-1 βαθμού με ν-1 το πολύ ρίζες. Άρα έχει ακριβώς ν-1
Δημ. Γιαννόπουλος
- giannisn1990
- Δημοσιεύσεις: 253
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
- Τοποθεσία: Greece
Re: Ν-1 ρίζες;
Δίχως βλάβη της γενικότητας θεωρώ Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση
τότε
οπότε με παραγώγιση παίρνουμε .Τώρα για την εφαρμίζεται το Θεώρημα Rolle στα διαστήματα ,άρα υπάρχουν ώστε
Όμως εύκολα δείχνουμε ότι σε καθένα απο τα παραπάνω διαστήματα η f είναι γνησίως φθίνουσα άρα τα είναι και μοναδικά .
τότε
οπότε με παραγώγιση παίρνουμε .Τώρα για την εφαρμίζεται το Θεώρημα Rolle στα διαστήματα ,άρα υπάρχουν ώστε
Όμως εύκολα δείχνουμε ότι σε καθένα απο τα παραπάνω διαστήματα η f είναι γνησίως φθίνουσα άρα τα είναι και μοναδικά .
Γιάννης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες