mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 22, 2026 8:05 am**

: Ο λόγος της συνάρτησης.png (8.08 KiB) Προβλήθηκε 73 φορές

Η πλευρά

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

μεταβάλλεται . Οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{A} , \hat{B}$ ,

τέμνονται στο σημείο

. Δημιουργήστε συνάρτηση $\lambda(x)$ , η οποία να αποδίδει τον λόγο : $\dfrac{(ABC)}{(ABS)}$ .

α) Βρείτε τον $\lambda$ , όταν x=2

. β) Βρείτε το

, ώστε : $\lambda=3$

γ) Βρείτε την μονοτονία της συνάρτησης . δ) Βρείτε το όριο του $\lambda$ , όταν το

τείνει στο $+\infty$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 22, 2026 9:39 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 22, 2026 8:05 am
Ο λόγος της συνάρτησης.pngΗ πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου μεταβάλλεται . Οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{A} , \hat{B}$ ,

τέμνονται στο σημείο . Δημιουργήστε συνάρτηση $\lambda(x)$ , η οποία να αποδίδει τον λόγο : $\dfrac{(ABC)}{(ABS)}$ .

α) Βρείτε τον $\lambda$ , όταν . β) Βρείτε το , ώστε : $\lambda=3$

γ) Βρείτε την μονοτονία της συνάρτησης . δ) Βρείτε το όριο του $\lambda$ , όταν το τείνει στο $+\infty$ .

$\displaystyle (ABC) = \frac{x}{2},(ABS) = \frac{x}{2}SD \Rightarrow \lambda (x) = \frac{1}{{SD}},SD = \tau - a = \frac{{x + 1 - \sqrt {{x^2} + 1} }}{2}$

Άρα, $\boxed{\lambda (x) = \frac{2}{{x + 1 - \sqrt {{x^2} + 1} }},x > 0}$

: Ο λόγος της συνάρτησης.png (10.21 KiB) Προβλήθηκε 67 φορές

α) $\displaystyle \lambda (2) = \frac{2}{{3 - \sqrt 5 }} = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{4} = {\left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\lambda(2)=\Phi^2}$

β) $\displaystyle \lambda (x) = 3 \Leftrightarrow {(3x + 1)^2} = 9{x^2} + 9 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{4}{3}}$

γ) $\displaystyle \lambda '(x) = \frac{{2(x - \sqrt {{x^2} + 1} )}}{{\sqrt {{x^2} + 1} (x + 1 - \sqrt {{x^2} + 1} )}} < 0,$ για κάθε x>0,

άρα η $\lambda$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle (0, + \infty )$ (*)

δ) $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \lambda (x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x + 1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {1 + \frac{1}{x} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) = 1 + 1 = 2$

(*) Λόγω φακέλου, η μονοτονία μπορεί να προκύψει από τον ορισμό.

mathematica.gr

Ο λόγος της συνάρτησης

Ο λόγος της συνάρτησης

Re: Ο λόγος της συνάρτησης