Λογικό όριο

KARKAR · #1

$\bigstar$ Υπολογίστε το όριο $\lim\limits_{x \to+\infty}\left({x^2-\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\right)$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 27, 2024 7:50 am
$\bigstar$ Υπολογίστε το όριο $\lim\limits_{x \to+\infty}\left({x^2-\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\right)$

.
$\displaystyle{ x^2-\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}} = \dfrac {x^2\sqrt{x^2+1}-x^3}{\sqrt{x^2+1}}= \dfrac {(x^2\sqrt{x^2+1}-x^3)(x^2\sqrt{x^2+1}+x^3)}{\sqrt{x^2+1}(x^2\sqrt{x^2+1}+x^3)}=}$

$\displaystyle{= \dfrac {x^4}{\sqrt{x^2+1}(x^2\sqrt{x^2+1}+x^3)}= \dfrac {1}{ \sqrt {1+ \dfrac {1}{x^2} } \left (\sqrt {1+ \dfrac {1}{x^2}}+1\right ) } \rightarrow \dfrac {1}{1\cdot (1+1)}= \dfrac {1}{2}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 27, 2024 7:50 am
$\bigstar$ Υπολογίστε το όριο $\lim\limits_{x \to+\infty}\left({x^2-\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\right)$

Ας δούμε και μία διαφορετική λύση από τις πολλές που υπάρχουν: Κάνουμε αλλαγή μεταβλητής γράφοντας $x= \tan u$ , οπότε $u \to \dfrac {\pi}{2}$ . Είναι τότε

$\displaystyle{ x^2-\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}= \tan ^2 u - \dfrac {\tan ^3 u}{ \sqrt {\tan ^2 u+1}} = \tan ^2 u - \tan ^3 u \cos u = \dfrac {\sin ^2 u}{\cos ^2u} -\dfrac {\sin ^3 u}{\cos ^2u}= }$

$\displaystyle{ = \dfrac {(1-\sin u) \sin ^2 u}{(1-\sin u)(1+\sin u)}= \dfrac {\sin ^2 u}{1+\sin u } \to \dfrac {1^2}{1+1 }= \dfrac {1}{2} }$

ksofsa · #4

Καλημέρα.

Αν ''σκαλίσουμε'' λίγο τη δεδομένη παράσταση, μπορούμε να οδηγηθούμε στην εξής μορφή:

$\dfrac{1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{\frac{x^2+1}{x^2}-1}$ .

Οπότε, θέτοντας $u=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ και στέλνοντάς το στο

, υπολογίζουμε το δεδομένο όριο να είναι το:

$\lim_{u \to 1} \dfrac{1-u}{\frac{1}{u^2}-1}=\lim_{u \to 1} \dfrac{u^2}{1+u}=\dfrac{1}{2}$ .

Λογικό όριο

Λογικό όριο

Re: Λογικό όριο

Re: Λογικό όριο

Re: Λογικό όριο

Μέλη σε σύνδεση