Θετική διακρίνουσα

#1

Αν $\displaystyle a,b,c \in \Re$ , δείξετε ότι $\displaystyle ac + bc + {c^2} < 0 \Rightarrow {b^2} > 4ac$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 01, 2023 9:09 pm
Αν $\displaystyle a,b,c \in \Re$ , δείξετε ότι $\displaystyle ac + bc + {c^2} < 0 \Rightarrow {b^2} > 4ac$

Εστω $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$
Η σχέση
$\displaystyle ac + bc + {c^2} < 0$
γράφεται
$\displaystyle f(1)f(c)<0$

Αρα από θεωρία τριωνύμου $\displaystyle {b^2} > 4ac$

Απορία.
Τι σχέση έχει με τον φάκελο ;

#3

Γνωρίζουμε αν $\displaystyle a \ne 0;$ (ας πούμε ότι ο τίτλος είναι παραπλανητικός )
Γνωρίζουμε αν $\displaystyle c \ne 1$ ;

ksofsa · #4

Λίγο διαφορετικά:

$ac< -bc-c^2\Rightarrow 4ac< -4bc-4c^2$ ,

κι επειδή $b^2\geq -4bc-4c^2$ (διότι ισοδυναμεί με $(b+2c)^2\geq 0$ ),

είναι b^2> 4ac

.

ksofsa · #5

Αλλιώς:

Θεωρώ τριώνυμο f(x)=x^2+bx+ca

, με διακρίνουσα D=b^2-4ac

.

Έστω $D\leq 0$ . Τότε $f(x)\geq 0,$ για κάθε

.

Όμως, f(c)<0

, άτοπο.

Άρα, b^2>4ac

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 01, 2023 10:13 pm
Γνωρίζουμε αν $\displaystyle a \ne 0;$ (ας πούμε ότι ο τίτλος είναι παραπλανητικός )
Γνωρίζουμε αν $\displaystyle c \ne 1$ ;

Δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε τίποτα.

Αν $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$
και
$f(\kappa )f(\lambda )<0$

τότε $\displaystyle {b^2} > 4ac$

Επαναλαμβάνω το ερώτημα.
Τι σχέση έχει με τον φάκελλο ;
Δηλαδή ποια είναι η λύση που χρησιμοποιεί στοιχεία του φακέλλου.

Σταμ. Γλάρος · #7

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 01, 2023 9:09 pm
Αν $\displaystyle a,b,c \in \Re$ , δείξετε ότι $\displaystyle ac + bc + {c^2} < 0 \Rightarrow {b^2} > 4ac$

Καλησπέρα.
Μια προσπάθεια.
Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=x^2+ bx +c

.
Είναι $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$ .
Συνεπώς υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί k<c<l

ώστε

,

και

.
Επομένως εφαρμόζοντας δύο φορές Θεώρημα Bolzano στην

στα διαστήματα [k,c]

και

προκύπτει ότι το τριώνυμο f(x)

έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
Άρα η διακρίνουσα του D=b^2-4ac>0

και έτσι προκύπτει το ζητούμενο.
Κατά την ταπεινή μου γνώμη είναι μια πολύ καλή, χρήσιμη και "παιδαγωγική", εντός φακέλου, άσκηση. Ευχαριστούμε πολύ Γιώργη
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 03, 2023 12:59 pm

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 01, 2023 9:09 pm
Αν $\displaystyle a,b,c \in \Re$ , δείξετε ότι $\displaystyle ac + bc + {c^2} < 0 \Rightarrow {b^2} > 4ac$
Καλησπέρα.
Μια προσπάθεια.
Θεωρώ την συνάρτηση .
Είναι $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$ .
Συνεπώς υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί ώστε , και .
Επομένως εφαρμόζοντας δύο φορές Θεώρημα Bolzano στην στα διαστήματα και
προκύπτει ότι το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
Άρα η διακρίνουσα του και έτσι προκύπτει το ζητούμενο.
Κατά την ταπεινή μου γνώμη είναι μια πολύ καλή, χρήσιμη και "παιδαγωγική", εντός φακέλου, άσκηση. Ευχαριστούμε πολύ Γιώργη
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Υπάρχει τυπογραφικό. Είναι f(x)=x^2+bx+ca

.

Στην ουσία.

Ο καθένας κρίνει κατά το δοκούν αν η παραπάνω λύση ή η παρακάτω είναι παιδαγωγικά καλή.

ksofsa έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 01, 2023 11:38 pm
Αλλιώς:

Θεωρώ τριώνυμο , με διακρίνουσα .

Έστω $D\leq 0$ . Τότε $f(x)\geq 0,$ για κάθε .

Όμως, , άτοπο.

Άρα, .

#9

Γράφω μια λύση χάριν ποικιλίας.
Είναι προφανώς $c \neq 0$ . Διαιρώντας την σχέση της υπόθεσης και του συμεράσματος με c^2

έχουμε ότι $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1<0$ και θέλουμε $\left( \frac{b}{c}\right) ^{2}>4\frac{a}{c}$ . Αν θέσουμε $x=\frac{b}{c}$ και $y=\frac{a}{c}$ θέλουμε να δείξουμε ότι:

Αν x+y+1<0

τότε $y<\frac{x^{2}}{4}$ .

Αυτό ισχύει διότι τα ζεύγη (x,y)

με

βρίσκονται κάτω από την ευθεία x+y+1=0

που βρίσκεται κάτω από την κυρτή $y=\frac{x^{2}}{4}$ της οποίας είναι εφαπτομένη στο (-2,1)

.

: discr.png (41.35 KiB) Προβλήθηκε 847 φορές

Θετική διακρίνουσα

Θετική διακρίνουσα

Re: Θετική διακρίνουσα

Re: Θετική διακρίνουσα

Re: Θετική διακρίνουσα

Re: Θετική διακρίνουσα

Re: Θετική διακρίνουσα

Re: Θετική διακρίνουσα

Re: Θετική διακρίνουσα

Re: Θετική διακρίνουσα

Μέλη σε σύνδεση