ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΜΕ ΑΚΕΡΑΙΑ ΜΕΡΗ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Το παρακάτω θέμα προέκυψε στη διάρκεια ενός κενού στο σχολείο...

Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η ακολουθία

$\displaystyle a_{n}=\frac{\left [ x \right ]+\left [ 2x \right ]+...+\left [ nx \right ]}{n}$

για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 13, 2022 11:02 am
Το παρακάτω θέμα προέκυψε στη διάρκεια ενός κενού στο σχολείο...

Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η ακολουθία

$\displaystyle a_{n}=\frac{\left [ x \right ]+\left [ 2x \right ]+...+\left [ nx \right ]}{n}$

για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού

Tηλέμαχε, χαιρετίσματα στην μοναδική και ασύγκριτη Κεφαλονιά.

Για x=0

είναι

, άρα συγκλίνει ως σταθερή.

Για x>0

είναι

$\displaystyle a_{n}\ge \dfrac{(x-1) + (2x-1) +...+ (nx-1)}{n} = \dfrac { \frac {1}{2} n(n+1)x-n}{n} = \frac {1}{2} (n+1)x-1 \longrightarrow +\infty$ .

Όμοια για x<0

συγκλίνει στο $-\infty$ .

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 13, 2022 11:02 am
Το παρακάτω θέμα προέκυψε στη διάρκεια ενός κενού στο σχολείο...

Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η ακολουθία

$\displaystyle a_{n}=\frac{\left [ x \right ]+\left [ 2x \right ]+...+\left [ nx \right ]}{n}$

για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού

Λίγο διαφορετικά.

Αν $\displaystyle x = 0 \Leftrightarrow {a_n} = 0 \Rightarrow \lim {a_n} = 0$

Αν $x\ne 0,$ υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle {\theta _1},{\theta _2},...,{\theta _n}$ ώστε $\displaystyle x = [x] + {\theta _1},2x = [2x] + {\theta _2},...,nx = [nx] + {\theta _n}$

$\displaystyle {a_n} = \frac{{x + 2x + ... + nx - \left( {{\theta _1} + {\theta _2} + ... + {\theta _n}} \right)}}{n} = \frac{{\frac{{n(n + 1)}}{2}x - \left( {{\theta _1} + {\theta _2} + ... + {\theta _n}} \right)}}{n}$

$\displaystyle {a_n} = \frac{{n + 1}}{2}x - \frac{{2\left( {{\theta _1} + {\theta _2} + ... + {\theta _n}} \right)}}{n} \Rightarrow \lim {a_n} = \lim \frac{{n + 1}}{2}x = \left\{ \begin{gathered} + \infty ,x > 0 \hfill \\ - \infty ,x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

#4

είναι γνωστό οτι $\displaystyle{a_n \to a \Rightarrow \frac{a_1+...+a_n}{n}\to a}$ και αν $\displaystyle{a_n}$ μονοτονη ισχυει και το αντιστροφο (αποδειξη με την βοήθεια του λήματος Stolz)

αν θεσουμε $\displaystyle{a_n=[nx]}$ τότε $\displaystyle{a_n=[nx]\ge nx-1}$ και για $\displaystyle{x>0}$ είναι $\displaystyle{a_n\to +\infty}$ και προφανως $\displaystyle{a_{n+1}=[(n+1)x]\ge [nx]=a_n}$ οποτε $\displaystyle{a_n}$ αυξουσα
Συνεπως $\displaystyle{a_n\to +\infty}$
για $\displaystyle{x<0 , a_n\to -\infty}$

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΜΕ ΑΚΕΡΑΙΑ ΜΕΡΗ

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΜΕ ΑΚΕΡΑΙΑ ΜΕΡΗ

Re: ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΜΕ ΑΚΕΡΑΙΑ ΜΕΡΗ

Re: ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΜΕ ΑΚΕΡΑΙΑ ΜΕΡΗ

Re: ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΜΕ ΑΚΕΡΑΙΑ ΜΕΡΗ

Μέλη σε σύνδεση