Εύρεση συνάρτησης 6

#1

α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y)^2=f(x)+f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y)^2=f(x)+f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

thepigod762 · #2

socrates έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 31, 2022 1:23 pm
α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y)^2=f(x)+f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y)^2=f(x)+f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

Έστω

η δοσμένη σχέση.

α) P(0,0): f(0)=0

ή

που δίνουν

$f(x) \in \{ 0, 1 \}$ ή f(x)=2.

Για την πρώτη περίπτωση υποθέτουμε ότι υπάρχει $x_0:f(x_0)=0\Rightarrow f(x_0x)=f(x_0)f(x)=0,$ που δίνει τελικά f(x)=0

ταυτοτικά.

Επίσης, η f(x)=1

δεν ικανοποιεί.

Άρα f(x)=0

ή $2, \forall x \in \mathbb{R}$ (ικανοποιούν).

β) $P(\dfrac{x}{2}, \dfrac{x}{2}): f(x)^2=2f(\dfrac{x}{2}).$

$P(x,y): f(x+y)^2=f(x)+f(y) \Leftrightarrow 2f(\dfrac{x+y}{2})=f(x)+f(y)$ (Jensen’s).

Στη συνέχεια δουλεύουμε όπως εδώ, αποδεικνύοντας πως f(x)=ax+b

(εδώ για το φράγμα πάμε με απαγωγή σε άτοπο, παίρνοντας f(y)

αρκετά μικρό ώστε f(x)+f(y)<0

).

Σε συνδυασμό με την αρχική έχουμε τελικά f(x)=0

ή $2, \forall x \in \mathbb{R}_{>0}.$

Πράγματι, υποθέτουμε προς άτοπο ότι

δεν είναι σταθερή, ή ισοδύναμα $x\not = 0.$

$P(\dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{a}): f(\dfrac{2}{a})^2=2f(\dfrac{1}{a}) \Leftrightarrow (2+b)^2=2(1+b) \Leftrightarrow b^2+2b+2=0 \Rightarrow b \not \in \mathbb{R},$ άτοπο.

Επομένως

σταθερή, που δίνει το ζητούμενο.

Εύρεση συνάρτησης 6

Εύρεση συνάρτησης 6

Re: Εύρεση συνάρτησης 6

Μέλη σε σύνδεση