Εύρεση συνάρτησης 3

#1

α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y)=f(x)^2f(y)^2 , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y)=f(x)^2f(y)^2 , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

thepigod762 · #2

socrates έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 31, 2022 1:11 pm
α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y)=f(x)^2f(y)^2 , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y)=f(x)^2f(y)^2 , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

Έστω

η δοθείσα πρόταση.

α) $P(x,0):f(x)=f(x)^2f(0)^2\Leftrightarrow f(x) \in \{ 0, c \}, c$ μια σταθερά.

Έστω ότι υπάρχει x_0:f(x_0)=0.

οπότε, σε συνδυασμό με την αρχική, f(x)=0

ή

ταυτοτικά.

β) Έστω f(1)=a.

Έχουμε

$P(1,1): f(2)=a^4 \Rightarrow$

$\Rightarrow P(2,1): f(3)=a^{10} \Rightarrow$

$\Rightarrow P(3,1): f(4)=a^{22}.$

Επίσης,

$P(2,2): f(4)=a^{16},$ οπότε

$a^{16}=a^{22}\Leftrightarrow f(1)=a=0$ ή

(αφού είναι και μη αρνητικό).

Για f(1)=0,

εύκολα

ταυτοτικά.

Για f(1)=1

έχουμε

οπότε $f(x) \in \{ 0, 1 \}.$

Όμοια με πριν δείχνουμε πως f(x)=0

ή $f(x)=1, \forall x \in \mathbb{R}_{>0}.$

Εύρεση συνάρτησης 3

Εύρεση συνάρτησης 3

Re: Εύρεση συνάρτησης 3

Μέλη σε σύνδεση